瑞利商 与 Beamforming

1、瑞利商与广义瑞利商

定义 $\bm A$A 为埃尔米特矩阵，瑞利商公式为
$R(X)=\frac{\bm x^H \bm A \bm x}{\bm x^H \bm x}$R(X)=xHxxHAx​
则有
$\lambda_{\min}≤ \frac{\bm x^H \bm A \bm x}{\bm x^H \bm x} ≤ \lambda_{\max}$λmin​≤xHxxHAx​≤λmax​
其中 $\lambda_{\max}$λmax​ 和 $\lambda_{\max}$λmax​ 表示矩阵 $\bm A$A 的最小特征值和最大特征值。证明过程见 https://seanwangjs.github.io/2017/11/27/rayleigh-quotient-maximum.html。

也就是说，换个优化形式
$\max_{\bm x} R(\bm A, \bm x) = \lambda_{\max}\\ \min_{\bm x} R(\bm A, \bm x) = \lambda_{\min}$xmax​R(A,x)=λmax​xmin​R(A,x)=λmin​

若将一常数 $c$c 代入 $x' = cx$x′=cx，则仍然有
$R(\bm A, \bm x') = \frac{\bm x'^H \bm A \bm x'}{\bm x'^H \bm x} = \frac{ c \bm x^H \bm A \bm x c}{c \bm x^H \bm x c} = R(\bm A, \bm x)$R(A,x′)=x′Hxx′HAx′​=cxHxccxHAxc​=R(A,x)
也就是说，对 $\bm x$x 进行等比例缩放并不会影响瑞利商的值，即
$R(\bm A, c \bm x) = R(\bm A, \bm x)$R(A,cx)=R(A,x)
既然缩放不产生影响，那就意味着我们总可以找到一个常数 $c$c 代入使得 $\bm x^T \bm x = 1$xTx=1。这样就有 $R(\bm A, c \bm x) =\bm x^H \bm A \bm x$R(A,cx)=xHAx。此时对瑞利商求极值就是在约束 $\bm x^H \bm x = 1$xHx=1 条件下，对 $\bm x^H \bm A \bm x$xHAx 求极值。下面就可以使用拉格朗日乘子法来解。

下面来看看更一般的广义瑞利商。广义瑞利商有如下形式
$R(\bm A, \bm x, \bm B) = \frac{\bm x^H \bm A \bm x}{\bm x^H \bm B \bm x}$R(A,x,B)=xHBxxHAx​

其中 $\bm A$A 和 $\bm B$B 都是 Hermitan 矩阵，即它的转置和自己相同。我们将 $\bm x= \bm x^{'}* \bm B^{-\frac{1}{2}}$x=x′∗B−21​ 带入上式，得到
$R(\bm x)=\frac{(\bm x^{'}* \bm B^{-\frac{1}{2}})^H \bm A( \bm x^{'}* \bm B^{-\frac{1}{2}})}{(\bm x^{'}* \bm B^{-\frac{1}{2}})^H \bm B(x^{'}* \bm B^{-\frac{1}{2}})} =\frac{\bm x^{'H} \bm B^{-1} \bm A \bm x{'}}{ \bm x^{'H} \bm x{'}} = R(\bm x')$R(x)=(x′∗B−21​)HB(x′∗B−21​)(x′∗B−21​)HA(x′∗B−21​)​=x′Hx′x′HB−1Ax′​=R(x′)

即又得到了我们的瑞利商的形式，而且这两种形式虽然变量替换了，但是函数极值还是等价的。（ 注意这里对 $\bm x$x 进行等比例缩放同样不会影响瑞利商的值 ）。

上述的结论也可以通过拉格朗日乘子法得到
$L(\bm x, \lambda) = \bm x^H \bm A \bm x - \lambda( \bm x^H \bm B \bm x)$L(x,λ)=xHAx−λ(xHBx)
梯度置零，有
$\begin{aligned} &\nabla_{\bm x} L = \bm A x - \lambda \bm B \bm x = 0\\ &\Leftrightarrow \bm A \bm x=\lambda \bm B \bm x\\ &\Leftrightarrow \bm B^{-1} \bm A \bm x = \lambda \bm x \end{aligned}$​∇x​L=Ax−λBx=0⇔Ax=λBx⇔B−1Ax=λx​

那么问题来了，怎么求 $\bm B^{-1} \bm A$B−1A 的特征值，特征向量呢？很多文献都说这是属于广义特征值问题。最后其实还是转化为了标准的特征值问题。怎么求呢？

这里有个很巧妙的办法。需要将 秩 1 矩阵 展开
$\bm B^{-1} \bm a \bm a^{H} \bm x = \lambda \bm x$B−1aaHx=λx

然后发现了 $\bm a^{H} \bm x = c$aHx=c，于是乎

$c \bm B^{-1} \bm a = \lambda \bm x \quad \Longrightarrow \quad \bm x = \frac{c}{\lambda} \bm B^{-1} \bm a$cB−1a=λx⟹x=λc​B−1a

（ 注意这里对 $\bm x$x 进行等比例缩放同样不会影响瑞利商的值 ）从而去掉系数 $\frac{c}{\lambda}$λc​。

可以得到 $\bm B^{-1} \bm A$B−1A 对应特征向量的基本形式
$\bm x = \bm B^{-1} \bm a$x=B−1a

部分内容受启发于 https://www.zybuluo.com/w460461339/note/1261090。

再做个归一化吧

$\bm x = \frac{ \bm B^{-1} \bm a } { \Vert \bm B^{-1} \bm a \Vert}$x=∥B−1a∥B−1a​

完结~ 撒花~