线性空间基本性质的一些证明

线性代数里面蕴含着丰富的数形结合思想，结合抽象空间变换后，理解难度会小很多,以下证明不一定严密，但至少不依赖任何技巧的花哨的数学方法，依赖空间直觉得出自然而然的结论，学习线性空间理论，应该低起点，高观点。

1.在线性空间的理论中，有一个定理起着重要的作用，描述如下,如果向量组

中每一个向量都是向量组

    

的线性组合，而且m>k,则向量

必定线性相关.

证明过程如下，由题设:

必然存在KxK的满秩矩阵A，使得

是

空间向量的线性变换结果，也即是：

  

这样

和　均可以做为K维空间的基.

所以,和也必然存在逆变换Ｂ，使得

其中

A,B互逆.

也就是说，不但x向量可以由y表示，而且也可以反过来标识y向量，两者在空间中是等价的，只是观察角度不同（玩儿游戏的同学应该能懂，吃鸡报点:))

所以，在K维空间中，哪怕在多一个向量，必定可以由k维的基标识，所以

m>k的情况下，多出来的m-k个向量必然可以被表示出来。

证毕:

对于上面证明用到的一个引理，就是为什么要求Ａ矩阵一定满秩,简单证明如下:

　其中

线性无关,其余向量可由其标识:

            

所以:

则x 必然也线性相关,引理得证明。

QED!

人类只能理解三维以下的空间，高维空间到底是什么样子的呢？ 好想知道