【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 24】

在上一个连载里面，我们就说，今天要开始正式步入电磁波的大门了！但是有同学可能会有这样的疑惑：欸？$Maxwell$Maxwell 方程描述的不是一些电磁现象吗？怎么就突然和 “波” 扯上关系了？？ 我们下面简单看一看 $Maxwell$Maxwell 方程和波，或者准确的说是电磁波，有什么联系。

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首先，大家应该对波不陌生吧，这里不仅仅指的是电磁波，还有生活中各种各样的波：比如说我们往水里仍一块石头，那么就会溅起一圈圈的水波；

如果我们抖动一根绳子，绳子上就会就会出现一个波动。

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可是，如果我让你找出波的共性，你可能会无从下手。

所以，大家陌生的并不是波本身，而是波的描述形式。

下面，我们就来看看波都有哪些共性：首先，假设我们建立一个直角坐标系，如果我们只关心某一个时刻的波，如下图所示：

那么很明显，不同位置 $x$x，波的值会有所不同，因此我们可以知道：波和位置 $x$x 有关。

可是，$y=f(x)$y=f(x) 只是描述某一个时刻的波的形状，如果我们想描述一个完整动态的波，就得把时间t考虑进来。也就是说我们的波形是随着时间变化的，即：我绳子上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x有关，还跟时间t有关，这样的话我们就得用一个二元函数 $y=f(x,t)$y=f(x,t) 来描述一个波。

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不过问题又来了：如果你说只要和位置、时间有关的都可以看成是波，那就有些不严谨了。因为太多东西都是和这两者有关了。我们还得挖掘一个特点：

波在传播的时候，虽然不同时刻波所在的位置不一样，但是它们的形状始终是一样的。也就是说前一秒波是这个形状，一秒之后波虽然不在这个地方了，但是它依然是这个形状。

这是一个很强的限制条件。有了这个限制条件，我们就能把波和其它在时间、空间中变化的东西区分开了。

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下面，我们简单推导一下经典的波动方程，我们就以波动的绳子为例好啦。我们取处于波动状态绳子中的一小部分 AB 来讨论波动到底满足的是什么方程，这其中我们只需要用到牛顿第二定律。

我们知道，现在我们所选取的 AB 段的绳子其实处处都会受到张力，但是AB 之间的部分所受的张力会相互抵消，所以具体分析 AB 绳子的受力时，我们只需要看两个端电 A, B 的受力情况。

首先，A，B两个端电所受到的张力的方向肯定是和绳子在 A，B两点的切向方向相同的，且大小也是一样的。我们设为：$F_T$FT​，AB之间的水平距离我们设为 $△x$△x，各种夹角如上图所示。

我们选取竖直方向分析，那么可以知道在垂直方向绳子所受的合外力为：

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根据牛二：$F = ma$F=ma，下面我们还需要知道 AB 段绳子的质量：

如果我们假设绳子单位长度的质量为 $μ$μ，而现在 AB 段的绳子的长度为 $△l$△l，那么很简单，AB段绳子的质量就是：$μ△l$μ△l

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最后我们还需要知道加速度。我们回顾一下加速度是怎么求的：加速度等于速度对时间求一阶导，同时速度又等于距离对时间的一阶导，我们把一个关于距离（位置）的函数对时间求两次导数，就可以得到加速度的表达式。

那我们对 $f(x,t)$f(x,t) 求两次关于时间的导数，自然就得到了这点的加速度a。因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以我们只能对时间的偏导。所以绳子 AB 的加速度我们就可以表示为：

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下面，我们把合外力、质量、加速度带入牛顿第二定律，可得：

如果这样的形式看起来不那么舒适，我们再做一下变化：

我们在中学就已经知道：在角度θ很小的时候，我们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。

我们假设这根绳子的扰动非常小，形变非常小，那么θ和θ+Δθ就都非常小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，那个波动方程左边的sin(θ+Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。

而我们还知道：tan其实反映的是这个曲线在某一个位置上切线的斜率。所以上式又可以变为：

不过，这个AB 段的绳子的长度为 $△l$△l很烦人，可是我们一想：我们现在取的 AB 段的绳子长度不是很短吗，那么这样岂不是可以用 AB 的水平距离 $△x$△x 来表示 $△l$△l 了嘛！即：

接下来，我们两边同时除以 $△x$△x，就是：

如果我们把 f 对 x求偏导这一项看成是一个关于 x 的函数，即：

那么就有：

而我们惊喜地发现：我们选取的 AB 之间的水平距离 $△x$△x 本来就是非常非常小（趋于0）的，那么不就天然地可以表示成：

所以到这里，我们描述波的方程就变成了：

最后就是这个 $\frac{μ}{F_T}$FT​μ​，我们看看它的单位：$μ$μ 的单位是：$kg/m$kg/m，而力的单位是：$N = kg \sdot m / s^2$N=kg⋅m/s2
所以 $\frac{μ}{F_T}$FT​μ​ 的单位是速度的平方的倒数！那么我们就说这个速度 就是波速。

至此我们就推导出了经典的波动方程：

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我们得到了经典的波动方程，那么下面就是见证奇迹的时刻：
首先，如果电磁转化真的能形成波，那么这个波肯定就要往外传，在远离了电荷、电流（也就是没有电荷、电流）的地方它还能自己传播。 也就是说首先我们给它营造一个无源的环境，此时的 $Maxwell$Maxwell 方程就变成了：

我们对第一个方程两边同时取旋度得：

把第二个方程带入上式的右边：

下面再根据矢量微分算子的特性：

巧的是，我们发现在无源区域磁场的散度恒等于0！那么我们就得到了下面的式子：

对于这个符号：$▽^2$▽2 ，他叫拉普莱斯算子，如下所示：

那么我们想啊如果这个磁场的方向只是沿着 $x$x 轴的，那不就变成了：

这不正是我们刚刚推导出来的经典波动方程的形式吗！！！！电场的波动方程的推导一模一样，这里不再赘述。

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那么我们惊喜地发现当满足 $Maxwell$Maxwell 方程的一组电场和磁场，他们居然也都分别满足波动方程的形式！也就是说：此时的电场和磁场的相互转化，已经是以一种波的形式传输了，我们称之为电磁波。而波的速度自然而然就是：

（注意：这里的下标0表示的是真空环境）

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好啦！这就是本次连载的全部内容了，电磁波的形式各种各样，我们在后续的连载中就重点分析一种波——平面电磁波。下一个连载见！