第十二章：无穷级数

常数项级数的概念和性质

一、概念

1. 级数定义：

给定数列$\{u_n\}${un​} ，由数列构成的表达式：$u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$u1​+u2​+u3​+...+un​+...称为常数项级数 ，简称为级数，记做$\sum\limits_{n=1}^{∞}u_n$n=1∑∞​un​

2. 有限和式：$u_1+u_2+...+u_n$u1​+u2​+...+un​称为$\sum\limits_{n=1}^{∞}u_n$n=1∑∞​un​的前n项部分和

   无穷数列：$s_1,s_2,...,s_n$s1​,s2​,...,sn​称为$\sum\limits_{n=1}^{∞}u_n$n=1∑∞​un​的部分和数列

3. 收敛和发散的定义：

   如果$\sum\limits_{n=1}^{∞}u_n$n=1∑∞​un​的部分和数列$\{s_n\}${sn​}有极限，那么级数收敛，反之，极限不存在，那么级数发散

4. 余项的定义

   级数收敛时，称$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...+$rn​=s−sn​=un+1​+un+2​+...+为级数的余项

   且有$\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=0$limn→∞​rn​=0

二、常用的级数的敛散性

1. 等比级数

   $|q|<1$∣q∣<1：级数收敛

   $|q|≥1$∣q∣≥1 : 级数发散

2. 调和级数

   调和级数虽然一般项趋近于0，但是级数发散，可见，一般项趋于零不能成为判定级数发散的标准。

3. p级数

   形如：$1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...+\frac{1}{n^p}+...$1+2p1​+3p1​+...+np1​+...

   $p>1$p>1：收敛

   $p≤1$p≤1：发散

三、级数的性质

1. 若级数$\{u_n\}${un​}收敛于s,那么s=$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​，则各项都乘以常数c，得到的级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}cu_n$n=1∑∞​cun​ ,也收敛，其和为$cs$cs

2. 设有两个收敛级数$s=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$s=n=1∑∞​un​和$\sigma=\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$σ=n=1∑∞​vn​ ，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_n±v_n)$n=1∑∞​(un​±vn​)也收敛，收敛于$s±\sigma$s±σ

   推论：收敛+收敛=收敛

   ​ 收敛+发散=发散

   ​ 发散+发散=不一定

3. 在级数前面加上或者去掉有限项，不改变原级数的敛散性

4. 收敛级数加上括弧后的级数仍收敛于原级数。

   推论：如果加上括弧后发散，那么原级数一定发散

   注意：收敛级数去括号后的级数未必收敛

5. 如果级数收敛，那么一般项一定极限为无穷小，即 $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0$limn→∞​un​=0 （必要条件）

   推论：级数的一般项不趋于0，则级数一定发散

常数项级数审敛法

一、正项级数及其审敛法

1. 正项级数的概念：每一项都大于等于0

2. 正项级数的审敛法

   ①收敛的充要条件：部分和数列$\{s_n\}${sn​}有界

   ②（比较审敛法）：

   设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​和$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​ 都是正项级数，且$u_n≤v_n（n=1,2,...）$un​≤vn​（n=1,2,...）

   大的收敛，小的一定收敛：若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​收敛，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​收敛

   小的发散，大的一定发散：若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​发散，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​发散

   推论：如果$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​和$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​ 都是正项级数

   a. 如果$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​ 收敛，且存在正整数N，使当n≥N时有$u_n≤kv_n(k>0)$un​≤kvn​(k>0)成立，那么级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​收敛

   b. 如果$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​ 发散，且存在正整数N，使当n≥N时有$u_n≥kv_n(k>0)$un​≥kvn​(k>0)成立，那么级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​发散

3. 比较审敛法的极限形式

   设有两个正项级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​和$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​，且满足$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_n}{v_n}=l$limn→∞​vn​un​​=l

   (1)当$0<l<\infty$0<l<∞时：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​和$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​同敛散性

   (2)当$l=0$l=0且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​收敛时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​也收敛

   (3)当$l=\infty$l=∞且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$n=1∑∞​vn​发散时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​也发散

4. 比值审敛法（达朗贝尔判别法）

   设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​ 为正项级数

   如果$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$limn→∞​un​un+1​​=ρ

   (1)$\rho<1$ρ<1：级数收敛

   (2)$\rho>1$ρ>1：级数发散

   (3)$\rho=1$ρ=1：不确定

   优点：不必找参考级数

   注意：比值审敛法是必要的，而不是充分的：

   不能通过$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​ 收敛$\longrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho<1$⟶limn→∞​un​un+1​​=ρ<1

5. 根值审敛法（柯西判别法）

   设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​ 为正项级数

   如果$lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$limn→∞​nun​​=ρ

   (1)$\rho<1$ρ<1：级数收敛

   (2)$\rho>1$ρ>1：级数发散

   (3)$\rho=1$ρ=1：不确定

二、交错级数及其审敛法

1. 交错级数的概念：各项正负交错，可以写成下面的形式：

   $u_1-u_2+u_3-u_4+...$u1​−u2​+u3​−u4​+...

2. (莱布尼茨定理)如果交错级数$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$n=1∑∞​(−1)n−1un​满足条件：

   (1)$u_n≥u_{n+1}(n=1,2,3,...);$un​≥un+1​(n=1,2,3,...);或$u_n≥u_{n+1}(n≥N)$un​≥un+1​(n≥N)-----------------------------------不看符号单调递减

   (2)$lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0,$limn→∞​un​=0,-----------------------------------------------------------------------------------不看符号一般项趋于零

   那么级数收敛，且其和$s≤u_1$s≤u1​，其余项$r_n$rn​的绝对值$|r_n|≤u_{n+1}$∣rn​∣≤un+1​

   注意：对于条件(1)中的数列单调性的判断常用的方法如下：

   ①$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$un​un+1​​=ρ，根据$\rho$ρ与1的大小判断单调性

   ②求导（容易忘记！！！）

3. 绝对收敛与条件收敛

   定义1：对于任意项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​，若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$n=1∑∞​∣un​∣收敛，那么称原级数绝对收敛

   （注意：一般来说加绝对值之后发散，原级数敛散性仍需重新判断，但是如果用的比值或者根值审敛法判定的发散，那么原级数一定发散）

   定义2：若原级数收敛，加上绝对值之后发散，那么称原级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$n=1∑∞​un​条件收敛

   定理：绝对收敛的级数一定收敛：通过加绝对值后收敛判断原级数一定收敛

常数项级数总结