点到直线的距离公式推导

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摘自 点到直线距离公式的几种推导 - 三横先生的文章 - 知乎 的三角形面积法，稍作修改并更正书写错误。

起因

今天在 PPT 里看到一个点到超平面的距离公式 $d = \frac{ 1 }{ \left\| \boldsymbol w \right\| }| \boldsymbol w \cdot \boldsymbol x_0 + \boldsymbol b |$d=∥w∥1​∣w⋅x0​+b∣，看了半天没看懂为什么这样算，遂去问学霸，答曰“平面情况下就是点到直线的距离公式”。

万分惭愧，我连初中数学都忘了。

三角形面积法

直线 $l$l 方程为 $Ax + By + C = 0$Ax+By+C=0，$A$A、$B$B 均不为 $0$0，点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​)，设点 $P$P 到 $l$l 的距离为 $d$d。

设点 $R(x_R, y_0)$R(xR​,y0​)，点 $S(x_0, y_S)$S(x0​,yS​)。

由 $R, S$R,S 在直线 $l$l 上，得到

$Ax_R + By_0 + C = 0$AxR​+By0​+C=0$Ax_0 + By_S + C = 0$Ax0​+ByS​+C=0

所以

$x_R = \frac{ -By_0 - C }{ A }$xR​=A−By0​−C​$y_S = \frac{ -Ax_0 - C }{ B }$yS​=B−Ax0​−C​

即

$| PR | = | x_0 - x_R | = | x_0 - \frac{ -By_0 - C }{ A } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } |$∣PR∣=∣x0​−xR​∣=∣x0​−A−By0​−C​∣=∣AAx0​+By0​+C​∣$| PS | = | y_0 - y_S | = | y_0 - \frac{ -Ax_0 - C }{ B } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } |$∣PS∣=∣y0​−yS​∣=∣y0​−B−Ax0​−C​∣=∣BAx0​+By0​+C​∣

于是

$| RS | = \sqrt{ { PR }^2 + { PS }^2 } = \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C |$∣RS∣=PR2+PS2​=ABA2+B2​​⋅∣Ax0​+By0​+C∣

由 $\Delta_{PSR}$ΔPSR​ 得

$d \cdot | RS | = | PR | \cdot | PS |$d⋅∣RS∣=∣PR∣⋅∣PS∣

即

$d = \frac{ | PR | \cdot | PS | }{ | RS | } = \frac{ | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } | \cdot | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } | }{ \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C | } = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }$d=∣RS∣∣PR∣⋅∣PS∣​=ABA2+B2​​⋅∣Ax0​+By0​+C∣∣AAx0​+By0​+C​∣⋅∣BAx0​+By0​+C​∣​=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​

另一种形式

设函数 $f(x, y) = Ax + By + C$f(x,y)=Ax+By+C，直线 $l: Ax + By + C = 0$l:Ax+By+C=0 的法向量为 $\boldsymbol v(A, B)$v(A,B)。

则点 $P(x_0, y_0)$P(x0​,y0​) 到直线 $l$l 的距离 $d$d 为

$d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } = \frac{ f(x_0, y_0) }{ \left\| \boldsymbol v \right\| }$d=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​=∥v∥f(x0​,y0​)​

注：$\left\| \boldsymbol v \right\|$∥v∥ 为向量 $\boldsymbol v$v 的 2-范式