样本方差为何除以n-1？——无偏估计
1 均值、标准差、方差
均值
X
‾
=
∑
i
=
1
n
X
i
n
\overline X=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}
X=n∑i=1nXi
标准差
s
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
‾
)
2
n
−
1
s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2}{n-1}}
s=n−1∑i=1n(Xi−X)2
方差
s
=
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
‾
)
2
n
−
1
s=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2}{n-1}
s=n−1∑i=1n(Xi−X)2
为什么要除以n-1，而不是n，但是翻阅资料，发现很多都是交代到，**如果除以n，对样本方差的估计不是无偏估计，比总体方差要小，要想是无偏估计就要调小分母，所以除以n-1。**那么问题来了，为什么不是除以n-2、n-3等等。所以在这里彻底总结一下，首先交代一下无偏估计。
2 无偏估计
以例子来说明，假如你想知道一所大学里学生的平均身高是多少，一个大学好几万人，全部统计有点不现实，但是你可以先随机挑选100个人，统计他们的身高，然后计算出他们的平均值，记为 X ‾ 1 \overline X_1 X1。如果你只是 X ‾ 1 \overline X_1 X1把作为整体的身高平均值，误差肯定很大，因为你再随机挑选出100个人，身高平均值很可能就跟刚才计算的不同，为了使得统计结果更加精确，你需要多抽取几次，然后分别计算出他们的平均值，分别记为 X ‾ 1 , X ‾ 2 , X ‾ 3 , . . . X ‾ k \overline X_1,\overline X_2,\overline X_3,...\overline X_k X1,X2,X3,...Xk：然后在把这些平均值，再做平均，记为： E ( X ‾ ) E(\overline X) E(X)，这样的结果肯定比只计算一次更加精确，随着重复抽取的次数增多，这个期望值会越来越接近总体均值 μ \mu μ，如果满足 E ( X ‾ ) = μ E(\overline X)=\mu E(X)=μ，这就是一个无偏估计，其中统计的样本均值也是一个随机变量， X ‾ i \overline X_i Xi就是 X ‾ \overline X X的一个取值。无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。
3 样本方差为何除以n-1？
介绍无偏估计的意义就是，我们计算的样本方差，希望它是总体方差的一个无偏估计，那么假如我们的样本方差是如下形式：
S
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
X
‾
)
2
S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline X)^2
S2=n1i=1∑n(xi−X)2
那么，我们根据无偏估计的定义可得：
由上式可以看出如果除以n，那么样本方差比总体方差的值偏小，那么该怎么修正，使得样本方差式总体方差的无偏估计呢？我们接着上式继续化简：
到这里得到如下式子，看到了什么？该怎修正似乎有点眉目。
如果让我们假设的样本方差
S
2
S^2
S2乘以
n
n
−
1
\frac{n}{n-1}
n−1n，即修正成如下形式，是不是可以得到样本方差是总体方差
σ
2
\sigma^2
σ2的无偏估计呢？
则：
因此修正之后的样本方差的期望是总体方差
σ
2
\sigma^2
σ2的一个无偏估计，这就是为什么分母为何要除以n-1。
感谢大佬的指点：
参考文献