极大似然估计
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贝叶斯决策
首先来看贝叶斯分类，我们都知道经典的贝叶斯公式：
p(w)：为先验概率，表示每种类别分布的概率；
：类条件概率，表示在某种类别前提下，某事发生的概率；
为后验概率，表示某事发生了，并且它属于某一类别的概率。有了后验概率就可以对样本进行分类。后验概率越大，说明某事物属于这个类别的可能性越大，我们越有理由把它归到这个类别下。
我们来看一个直观的例子：已知：在夏季，某公园男性穿凉鞋的概率为1/2，女性穿凉鞋的概率为2/3，并且该公园中男女比例通常为2:1，问题：若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人，请问他的性别为男性或女性的概率分别为多少？
【例】从问题看，就是上面讲的，某事发生了，它属于某一类别的概率是多少？即后验概率。
设：
由已知可得：
男性和女性穿凉鞋相互独立，所以
（若只考虑分类问题，只需要比较后验概率的大小，的取值并不重要）。
由贝叶斯公式算出：
问题引出
实际问题中并不都是这样幸运的，我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据，而先验概率和类条件概率(各类的总体分布)
都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时，一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计，然后再套用贝叶斯分类器。
先验概率的估计较简单，1、每个样本所属的自然状态都是已知的（有监督学习）；2、依靠经验；3、用训练样本中各类出现的频率估计。
类条件概率的估计（非常难），原因包括：概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息；样本数据可能不多；特征向量x的维度可能很大等等。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。解决的办法就是，把估计完全未知的概率密度转化为估计参数。这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题，极大似然估计就是一种参数估计方法。
概率密度函数的选取很重要，模型正确，在样本区域无穷时，我们会得到较准确的估计值；如果模型都错了，那估计半天的参数，肯定也没啥意义了。
重要前提
上面说到，参数估计问题只是实际问题求解过程中的一种简化方法（由于直接估计类条件概率密度函数很困难）。所以能够使用极大似然估计方法的样本必须需要满足一些前提假设。
重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件)，且有充分的训练样本。
极大似然估计
极大似然估计的原理，用一张图片来说明，如下图所示：
总结起来，最大似然估计的目的就是：利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。
原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。
由于样本集中的样本都是独立同分布，可以只考虑一类样本集D，来估计参数向量θ。记已知的样本集为：
似然函数（linkehood function）：联合概率密度函数称为相对于
的θ的似然函数。
如果是参数空间中能使似然函数
最大的θ值，则
应该是“最可能”的参数值，那么
就是θ的极大似然估计量。它是样本集的函数，记作：
求解极大似然函数
ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。
实际中为了便于分析，定义了对数似然函数：
1. 未知参数只有一个（θ为标量）
在似然函数满足连续、可微的正则条件下，极大似然估计量是下面微分方程的解：
2.未知参数有多个（θ为向量）
则θ可表示为具有S个分量的未知向量：
记梯度算子：
若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量就是如下方程的解。
方程的解只是一个估计值，只有在样本数趋于无限多的时候，它才会接近于真实值。
极大似然估计的例子
例1：设样本服从正态分布，则似然函数为：
它的对数：
求导，得方程组：
联合解得：
似然方程有唯一解：，而且它一定是最大值点，这是因为当
或
时，非负函数
。于是U和
的极大似然估计为
。
例2：设样本服从均匀分布[a, b]。则X的概率密度函数：
对样本：
很显然，L(a,b)作为a和b的二元函数是不连续的，这时不能用导数来求解。而必须从极大似然估计的定义出发，求L(a,b)的最大值，为使L(a,b)达到最大，b-a应该尽可能地小，但b又不能小于，否则，L(a,b)=0。类似地a不能大过
，因此，a和b的极大似然估计：
求最大似然估计量的一般步骤：
（1）写出似然函数；
（2）对似然函数取对数，并整理；
（3）求导数；
（4）解似然方程。
最大似然估计的特点：
1.比其他估计方法更加简单；
2.收敛性：无偏或者渐近无偏，当样本数目增加时，收敛性质会更好；
3.如果假设的类条件概率模型正确，则通常能获得较好的结果。但如果假设模型出现偏差，将导致非常差的估计结果。
正态分布ML估计的Matlab实例：点击打开链接
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数学之美_深入浅入详解的最(极)大似然估计
1.什么是最大似然估计：分类上来说属于概率论中的点估计方式
2.概率论和数理统计是互逆的思想过程。概率论可以看成是由因推果，数理统计则是由果溯因。互为逆思考的过程
3.似然估计，likelihood estimate（LE），意思是可能性。知道一个现象，他可能是由什么因引起的。
概念性的解释一下：在传统概率学派中假定的是概率分布的参数固定，随机样本。那么我们该如何谈过样本去确定这个概率分布的参数呢？这里就需要用到似然估计的方法了。也就是说，样本出现后，反推模型参数值，而这个参数值有多种可能性（M，最Max，最大的可能性。最大似然估计也叫Max likelihood estimate MLE）
4.极大似然估计的思想基础：平时人们思维过程中养成的习惯，比如一个得到过奥运金牌打把脱靶性的可能性（概率）大大小于没有打过枪的人的脱靶性。发生可能性大的发生的结果就是事实。这是平时人们思考问题的基础。
5.极大似然估计的原理：
如果X~f(x),f(x)为整个样本X的密度函数。
如果我们做了N次试验，x1,x2,...,xn对应的密度函数就是f(x1),f(x2),...,f(xn)。
我们就认为：这些所有的密度函数累乘就是最大值。也是做试验最可能发生的结果。这个最大值也叫极大。
问题：为什么是累乘(连乘)。因为这里不是求每一次概率密度函数的最大值，而是求每一次联合起来的最大值，联合起来就是相乘，然后他们的最大值是乘完之后的最大值，而不是每一个的最大值。
例1：如果X~b(1,p).X1,X2,...,Xn是来自X的一个样本，试求参数p的最大似然估计量。
这是一个二项分布，又因为这是个离散型的数据，因此要把每一个点的概率求出来，然后再相乘就是似然估计的p，另外要求极值，我们就要乘积，乘积的求导挺麻烦的，乘积的求导也叫复合函数求导。这里求导不方便，我们就把它对数化就可以把幂拿下来,而且就可做加法了。比如：
L = p(X1 = x1)*p(X2 = x2)*...*p(Xn = Xn)
lnL = lnp(X1 = x1) + lnp(X2 = x2)+...+lnp(Xn = Xn)
我们把它对数化之后，因为对数函数是单调的，所以求p的最大值也就是求lnL的最大值。
因此一般分两步：第一步是写出似然函数，第二步求导得最大值(最大值也就是等于0)
例2：在举一个连续型的函数，未知数为两个μ和sigma平方，这里不是求导数，是求偏导的过程，因为这里是偏导。