泛函分析 第一章 1 绪论(4) 笔记

这个地方验证 $\int_{-1}^1y_n(x)y_m(x)dx=0$∫−11​yn​(x)ym​(x)dx=0 可以用分部积分搞，假设 $m<n$m<n：

$\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\frac{d^m}{dx^m}(x^2-1)^mdx&=\int_{-1}^1\frac{d}{dx}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n\frac{d^m}{dx^m}(x^2-1)^mdx\\ &=\left.\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n\frac{d^m}{dx^m}(x^2-1)^m\right|_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}(x^2-1)^mdx\\ &=-\int_{-1}^1\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n\frac{d^{m+1}}{dx^{m+1}}(x^2-1)^mdx\\ &=(-1)^{n}\int_{-1}^1(x^2-1)^n\frac{d^{m+n}}{dx^{m+n}}(x^2-1)^mdx\\ \end{aligned}$∫−11​dxndn​(x2−1)ndxmdm​(x2−1)mdx​=∫−11​dxd​dxn−1dn−1​(x2−1)ndxmdm​(x2−1)mdx=dxn−1dn−1​(x2−1)ndxmdm​(x2−1)m∣∣∣∣​−11​−∫−11​dxn−1dn−1​(x2−1)ndxm+1dm+1​(x2−1)mdx=−∫−11​dxn−1dn−1​(x2−1)ndxm+1dm+1​(x2−1)mdx=(−1)n∫−11​(x2−1)ndxm+ndm+n​(x2−1)mdx​

此时由于 $m<n$m<n，因此 $\frac{d^{m+n}}{dx^{m+n}}(x^2-1)^m=0$dxm+ndm+n​(x2−1)m=0 （因为被求导的多项式是 $2m$2m 次的，求了 $m+n$m+n 次导之后是 $0$0）

规律是零点越来越多了 ，特征函数有非常好的震动性。

微分比积分多一个条件才能交换，多要求了微分之后的级数一致收敛。

希尔伯特空间的共轭空间和共轭算子就是满足类似于 $(Ax,y)=(x,Ay)$(Ax,y)=(x,Ay)