矩阵的PLUP’分解

矩阵的PLU分解可以适用于所有的矩阵吗？

举例 矩阵A

此时，为了继续执行高斯消元，需要交换矩阵的两列 ==>
在之前介绍的初等变换 只能 交换矩阵的两行。
例如 ，左乘矩阵 ==> 。
那如果想要交换矩阵的两列，需要右乘以置换矩阵。 ==>

综上，之前的例子中的问题就可以通过 再添加一个 置换矩阵 P’ 右乘 即可解决 ==>
A = P * L * U * P’
其中左乘的P是置换矩阵，负责执行 交换行操作。
L,U同样还是上三角矩阵与下三角矩阵。
右乘的P’同样也是置换矩阵，但它负责执行 交换列操作。

列交换

为什么右乘P’可以实现 交换列 操作？
回忆之前 矩阵的乘法 ==>

将 矩阵拆为 行 ==>

将 红色的矩阵 去乘以 第二列 ，第二列中的 第三个元素为 1，其实就相当于 在红色的矩阵中取出了 第三列 ，并且取出的第三列 现在在第二列的位置，也就变成了 结果矩阵的第二列。
同理，红色矩阵 乘以 第三列，第三列中第二个元素为1， 其实就相当于 在红色的矩阵中取出了 第二列 ，并且取出的第二列 现在在第三列的位置，也就变成了 结果矩阵的第三列。

行交换

与列交换 原理相同。

矩阵的乘法 ==>

理解 列交换与 行交换的原理后 ，其实 相当于看到了 矩阵乘法 的两个视角。

一个视角 是将 后矩阵 拆为了 列 ==>

另一个视角 将 前矩阵 拆成了 行 ==>

第三种视角 ？

回忆 矩阵与向量 相乘中的 列视角 ==>

列交换视角 ==>

再看 矩阵乘法 ==>


结果矩阵 简化为 ==>

看作k列k行 ==>

结果矩阵 ==>

综上， 在列视角 看 矩阵的乘法 ==>

比较 两种视角 的不同 ==>