第一章>函数&数列极限
第一讲&函数
[ ] 实数集D的上确界:Sup D
- 实数集D的下确界:Inf D
- Sup = super = > 上层
- Inf = Inform = 报告 => 下层
准备知识
| 实数&数轴 | 实数与数轴可以一一对应 |
|---|
| 实数集基础 | 例子 |
|---|---|
| 区间: 开区间 / 闭区间 / 半开半闭区间 | |
| 领域: | ( X - δ , X + δ) |
| 去心领域 : | 在领域的基础上,去掉X本身 |
有界集
| 有界 | 必须有最大的元素,也必须有最小的元素 |
|---|---|
| 上界 | 大于等于一个集合中最大的元素,都可以叫上界 |
| 上确界 | 最小的上界 = 集合本身最大的元素 |
| 实数集D的上界与上确界图例: | |
| 下界/下确界 | 比实数集最小的数都小的数都能叫下界,实数集最小的数叫做下确界 |
函数
| 函数 | 已知X => 经过运算关系 => 得到结果 |
|---|---|
| 注意: | 函数不能一X对多个Y ==> 类比与编程实现,一个输入经过函数运算不能得到多种结果的输出 |
常见函数
| 三角函数 | 知道角度求值 |
|---|---|
| 反三角函数 | 知道值求角度 |
| 注意:y=cot x | |
| y=arc sin x | |
| y = arc cos x | |
| y = arc tan x | |
| y = arc cot x | |
| 初等函数 | 基本函数基础上的的复杂形式 |
极坐标
| 极坐标 | ( 极长 , 极角 ) |
|---|---|
| 公式: | r * r = x * x + y * y // r cos θ = x // r sin θ = y |
第二讲&数列极限
- List item
| 极限的思想 | |
|---|---|
| 1:例题:求y = x * x 的面积 | |
| 2:分析 | 将曲线图划分为n块很小的等低长度的矩形的面积近似于真实面积 |
| 3:计算 |
|
| 4:但是没有将图细分为无穷块得到的就不是真实值,所有将图细分为n块的n取值为无穷,意味着将图无限的细分,最终结果为准确值 (重要) | 最后精确解为 1 / 3 |
数列的极限
| 问:一个数列为什么有极限 | 答:数列是排列在一维直线的一群代表实数的点,而函数是一条排列在二维的平面的线条,所以由函数图像能够直观的看出极限(上确界 / 下确界) 但是没有图像的话就很难看出极限,数列有单调性,不是递增就是递减,意思就是数列趋近于An的值要么越来越大靠近与无穷,要么越来越小,趋近于一个确定的值(注意,不一定必须趋近于0,因为不能确定数列前是否有系数),对于单调递减的函数就有一个An趋近的极限,也被叫做数列的极限,并且是数列的最后一位An才趋近于这个极限 |
|---|---|
| 数列极限的符号表示 | |
| 数列Xn极限值为A | 也可以说成,数列Xn收敛于A |
数列极限的证明题解法
| 数列极限的证明问题 | 用极限的定义去解决! |
|---|---|
| 解题思路: | 按照定义,找到某一项N使得AN的值趋近于该极限值,即AN与极限值之间的距离无限小,解出这个N的取值,即说明了数列存在AN这个数,无限接近于数列的极限 |
| 注意: | 当N在绝对值化简后得到的不等式中,非常难求解的时候,应该考虑,把含N的不等式的一边放大或者缩小,但是依然能保留结果的正确性的前提下,换成简单的式子对N进行求解! |