斯坦福机器学习笔记-单变量线性回归

斯坦福机器学习笔记-单变量线性回归

本节通过房价预测问题来学习第一个学习算法线性回归算法

基本概念

监督式学习-回归

• 监督式学习：由于对于数据样本来说，都包含与之对应的正确答案，故为监督式学习
• 回归：预测值为连续值，故为回归问题
  

训练集

首先明确几个数学符号, 如下图所示

• m：表示训练集样本数目
• x′s$x^{\prime }s$表示输入向量，也叫输入特征， 比如本例房价预测问题中的面积，居住区域等
• y′s$y^{\prime }s$表示输出变量，也叫目标变量
• （x(i)$x^{(i)}$, y(i)$y^{(i)}$)表示训练集中第i个训练样本
  

假设函数(Hypothesis Function)

通过给定的训练集学习到的函数h : X -> Y叫做假设函数(Hypothesis Function)，如图所示，本例房价预测问题中的假设函数就是一个房价(Y)关于面积(X)的函数。一个好的假设函数可以预测出对应X的Y值。

我们通过如下形式表示假设函数，为了方便，hθ(x)$h_{\theta }(x)$也叫作h(x)$h(x)$, 当然会有更复杂的函数，也许是非线性函数，但是由于线性函数是简单的形式，所以我们先从线性方程的例子开始学习，逐渐建立复杂的模型。

上图所示是单个变量的线性回归，这个变量就是x，根据x来预测房价的函数，这个模型也叫作Univariate linear regression。

代价函数(Cost Function)

引入代价函数的目的是为了更好的将我们的线性方程和数据相拟合。当我们设定了假设函数外，我们就可以进行预测。但是如何选择假设函数的参数θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$呢？选择不同的参数θ0${\theta }_0$，θ1${\theta }_1$时，就会有不同的假设函数。下图列举了三种不同θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$情况下的假设函数

问题是如何选择参数呢？我们的想法是选择某个参数θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$，使得对于训练集的训练样本(x, y), hθ(x)$h_{\theta }(x)$尽可能的接近y. 如果预测值和真实值越接近，表示假设函数越准确。这里我们使用均方误差来作为衡量标准，即我们的目标是最小化训练样本的预测值和真实值的平方的均值，公式如下

其中m为训练集中样本数目，上标i表示某训练样本， 1/2是为了简化计算

现在我们定义一个代价函数

我们的目标就是关于θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$, 对代价函数J(θ0,θ1)$J({\theta }_0,{\theta }_1)$, 求最小值, 即

代价函数也叫作平方误差代价函数， 也有其他代价函数，不过对于回归问题来说，平方误差代价函数是一个合理的选择。

代价函数直观理解

为了更好的理解代价函数，我们使用简化的假设函数，即令θ0${\theta }_0$为0， 简化版的假设函数是经过原点的直线，如果所示

我们需要更好的理解两个函数，一个是代价函数，另一个是假设函数。需要注意的是，假设函数是关于x的函数，对于本例就是关于房子面积x的函数。与此不同的是代价函数是关于θ1${\theta }_1$的函数， 而θ1${\theta }_1$控制着假设函数的斜率。如图所示，令θ1${\theta }_1$为1， 训练集包含三个样本

左边为假设函数，x轴为房子面积，现在我们计算下当θ1${\theta }_1$为1的情况下，代价函数的值为0

继续更改θ1${\theta }_1$的值，计算对应的代价函数的值, 得到下图

对于不同的θ1${\theta }_1$, 有着不同的假设函数hθ(x)$h_{\theta }(x)$和不同的J(θ1)$J({\theta }_1)$， 我们学习算法的优化目标就是寻找某个θ1${\theta }_1$使得代价函数J(θ)$J(\theta )$值最小，从图中可以看出，当θ1${\theta }_1$为1的时候，假设函数能够完美的拟合训练数据，代价函数取得最小值

代价函数直观理解II

上节中，我们令θ0${\theta }_0$等于0， 故代价函数J(θ)$J(\theta )$是关于θ1${\theta }_1$的函数。但本节有两个参数θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$， 所以代价函数图像有些复杂。当只有一个参数θ1${\theta }_1$的时候，代价函数图像是一个弓形函数，两个参数的代价函数在某种意义上也是一种弓形函数，是一个三维坐标的弓形曲面

其中，参数θ1${\theta }_1$, θ1${\theta }_1$分别为底面坐标轴，某点高度表示J(θ)$J(\theta )$值

后面为了简便，将会用轮廓图(contour plots)，也叫等高线图来表示。如下图所示，最小值就是这一系列同心椭圆的中心点。举个例子，下图中右侧x点，θ1${\theta }_1$等于800， θ1${\theta }_1$等于-0.15，左边就是该参数下的假设函数，可以看到，假设函数不能很好的拟合训练数据，并且x点距离中心点还很远，即此处代价值比较大

类似的，我们逐渐尝试不同的参数值，最后我们找到某个点，虽然不是最小值，但已经很接近最小值点了，如下图所示

当然，我们需要一种有效的算法，能够自动的找到使得代价函数J取得最小值的参数。因为我们会遇到更复杂，更高纬度，更多参数的情况，那时无法将其可视化。这就引出我们下节要将的算法梯度下降算法。

由本两节可知，假设函数是我们拟合数据的函数，而代价函数是评价假设函数拟合数据的拟合程度。

梯度下降算法

梯度下降

梯度下降算法是一种很常用的优化算法，他不仅被用在线性回归中，也被用于机器学习领域中的众多领域。梯度下降算法寻找最有参数θ$\theta$的思想是：首先随机初始化参数，比如θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$(例如θ0=0${\theta }_0=0$, θ1=0${\theta }_1=0$), 不断地改变参数θ0${\theta }_0$, θ1${\theta }_1$, 减小J(θ)$J(\theta )$, 直到找到最小值点。

下图片表明了梯度下降法的工作过程， 可以把梯度下降的过程想象成一个人下山，如果想要尽快的下山，则每次都应该向坡度最大的方向下山。

梯度下降算法会收到初始状态的影响，如果我们选择不同的初始点，可能会到达不同的局部最小值。比如下图

下面具体看一下梯度下降算法的定义，如图所示，

其中，:=表示赋值，α$\alpha$为学习速率，控制着下降的歩幅， ∂J(θ0,θ1)∂θj$\frac{\mathrm{\partial }J({\theta }_0,{\theta }_1)}{\mathrm{\partial }{\theta }_j}$叫做梯度。算法的微妙之处在于要同时(simultaneously)更新θ0${\theta }_0$和θ1${\theta }_1$

梯度和学习速率

本节将深入介绍梯度和学习速率对于梯度下降算法的意义。为了简化问题，我们使得θ0${\theta }_0$等于0. 假设我们选择的初始点θ1${\theta }_1$在最小值的右侧，此时的斜率是正数。根据算法更新参数公式，θ1${\theta }_1$减去学习速率α$\alpha$ 乘以 梯度, 相当于左移参数，逐渐靠近最低点。如果初始点选择在最低值的左边，则此时的斜率为负数，更新公式会增大，逐渐靠近最低点

如果初始点选取在最优处或者局部最低点，那么局部最优点的导数为0， 所以θ1${\theta }_1$将不再改变

学习率会影响梯度下降的幅度。如果α$\alpha$太小，则θ$\theta$的更新速度会很小，那么梯度下降需要很久才能到达最低值。反之，如果α$\alpha$太大，则θ$\theta$的可能会直接越过最低值，甚至可能无法收敛，即无法达到最低值。

随着逐渐接近局部最优点，相应的导数也会变小，所以参数更新的幅度也会减小，并不需要额外减小α$\alpha$的值来减小下降程度

应用

本节将结合梯度下降和代价函数，并将其应用到线性回归模型中。梯度下降重要的部分就是计算梯度，也就是偏导数项。

我们将假设函数hθ(x(i))=θ0+θ1x(i)$h_{\theta }(x^{(i)})={\theta }_0+{\theta }_1{x}^{(i)}$带入到代价函数中，并且分别对θ0${\theta }_0$、θ1${\theta }_1$求偏导得

由此我们得到了完整的梯度下降算法

上节提到，梯度下降算法会受到初始点的影响，可能会收敛到局部最优点。但是用于线性回归问题的代价函数总是一个凸函数(Convex Function)， 而凸函数没有局部最优解，只有一个全局最优解。故对于线性回归问题，使用梯度下降算法，总会得到一个全局最优解。

现在我们看一下梯度下降算法的运行过程，下图是关于假设函数和代价函数的图像

使用梯度下降逐渐更新参数θ0${\theta }_0$， θ1${\theta }_1$的值，最后得到下图所示

最后我们得到最优解，用最优解下的假设函数对房价进行预测，比如一个1,250平方英尺的房子大概能卖到250k$，如下图所示

参考

coursera machine learning week 1

Coursera机器学习笔记(二) - 单变量线性回归

单变量线性回归