概率论07- 连续型随机变量及其分布

1.密度函数

如果对于随机变量X的分布函数F(x) ，存在非负函数 f(x)，使得对任意实数x，都有

则称X为连续型随机变量，其中f(x) 称为X的概率密度函数,简称为密度函数、密度或概率密度.

2.密度函数的性质

• f(x) >= 0
• 积分和为1
• F(x) 是(-无穷，+无穷）上的连续函数。
• P{ X = a } = 0
• 对于a <= b, 有 P{ a < X <= b } = P{ a < X < b } = P{ a =< X < b } = P{ a =< X <=b } = F(b) - F(a) = f(x)在[a , b ] 上的积分
• 若
• 若f(x)在点x出连续 ，则F`(x) = f(x)

3.几类重要的连续型随机变量

（一）均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度

则称X在区间 （a,b）上服从均匀分布,记为X~U(a,b)

X在区间 上等可能取值,分布函数为：

（二）指数分布
设连续型随机变量X具有概率密度

其中 θ > 0,则称X服从参数为 θ 的指数分布。
其分布函数为：

关于概率统计论中服从指数分布的随机变量X具有无记忆性。 具体来说：如果X是某一元件的寿命，已知元件已经使用了S小时， 它总共能使用至少S＋T小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能 使用T小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过S小时没有记忆。

（三）正态分布
设连续型随机变量X具有概率密度

则称X服从参数为μ， 的正态分布或高斯分布。
当 μ = 0， = 1 时称X服从标准正态分布。