机器学习之LDA线性判别分析

思想总结

线性判别分析( Linear Discriminant Analysis , LDA )是一种经典的降维方法。和主成分分析 PCA 不
考虑样本类别输出的无监督降维技术不同, LDA 是一种监督学习的降维技术,数据集的每个样本有类别输出。

LDA 分类思想简单总结如下:

• 多维空间中,数据处理分类问题较为复杂, LDA 算法将多维空间中的数据投影到一条直线上,将 d
  维数据转化成 1 维数据进行处理。
• 对于训练数据,设法将多维数据投影到一条直线上,同类数据的投影点尽可能接近,异类数据点尽
  可能远离。
• 对数据进行分类时,将其投影到同样的这条直线上,再根据投影点的位置来确定样本的类别。
  如果用一句话概括 LDA 思想,即 “ 投影后类内方差最小,类间方差最大 ” 。

图解 LDA 核心思想

假设有红、蓝两类数据,这些数据特征均为二维,如下图所示。我们的目标是将这些数据投影到一维,让每一类相近的数据的投影点尽可能接近,不同类别数据尽可能远,即图中红色和蓝色数据中心之间的距离尽可能大。

左图和右图是两种不同的投影方式。

• 左图思路:让不同类别的平均点距离最远的投影方式。
• 右图思路:让同类别的数据挨得最近的投影方式。

从上图直观看出,右图红色数据和蓝色数据在各自的区域来说相对集中,根据数据分布直方图也可看出,所以右图的投影效果好于左图,左图中间直方图部分有明显交集。
以上例子是基于数据是二维的,分类后的投影是一条直线。如果原始数据是多维的,则投影后的分类面是一低维的超平面。

二类LDA算法原理

输入:数据集 $D={(\boldsymbol x_1,\boldsymbol y_1),(\boldsymbol x_2,\boldsymbol y_2),...,(\boldsymbol x_m, \boldsymbol y_m)}$D=(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xm​,ym​),其中样本 $\boldsymbol x_i$xi​ 是 n 维向量, $\boldsymbol y_i \epsilon{0, 1}$yi​ϵ0,1 ,降维后的目标维度 $d$d 。定义
$N_j(j=0,1)$Nj​(j=0,1) 为第 $j$j 类样本个数;
$X_j(j=0,1)$Xj​(j=0,1) 为第 $j$j 类样本的集合;
$u_j(j=0,1)$uj​(j=0,1) 为第 $j$j 类样本的均值向量;
$\sum_j(j=0,1)$∑j​(j=0,1) 为第 $j$j 类样本的协方差矩阵。
其中

假设投影直线是向量 $\boldsymbol w$w ,对任意样本 $\boldsymbol x_i$xi​ ,它在直线 $w$w 上的投影为$\boldsymbol w^Tx_i$wTxi​ ,两个类别的中心点 $u_0$u0​, $u_1$u1​ 在直线 $w$w 的投影分别为$\boldsymbol w^Tu_0$wTu0​ 、 $\boldsymbol w^Tu_1$wTu1​ 。

LDA 的目标是让两类别的数据中心间的距离 $| \boldsymbol w^Tu_0 - \boldsymbol w^Tu_1|^2_2$∣wTu0​−wTu1​∣22​ 尽量大,与此同时,希望同类样本投影点的协方差 $\boldsymbol w^T \sum_0\boldsymbol w$wT∑0​w 、$\boldsymbol w^T \sum_1 \boldsymbol w$wT∑1​w 尽量小,最小化 $\boldsymbol w^T \sum_0\boldsymbol w + \boldsymbol w^T \sum_1 \boldsymbol w$wT∑0​w+wT∑1​w 。

定义类内散度矩阵

类间散度矩阵 $S_b = (u_0 - u_1)(u_0 - u_1)^T$Sb​=(u0​−u1​)(u0​−u1​)T

据上分析,优化目标为

根据广义瑞利商的性质,矩阵 $S^{-1}{w} S_b$S−1wSb​ 的最大特征值为 $J(\boldsymbol w)$J(w) 的最大值,矩阵$S^{-1}{w} S_b$S−1wSb​ 的最大特征值对应的特征向量即为 $\boldsymbol w$w 。

LDA算法流程总结

算法降维流程如下:
输入:数据集 $D = { (x_1,y_1),(x_2,y_2), ... ,(x_m,y_m) }$D=(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xm​,ym​) ,其中样本 $x_i$xi​ 是 n 维向量, $y_i \epsilon {C_1, C_2, ..., C_k}$yi​ϵC1​,C2​,...,Ck​ ,降维后的目标维度 $d$d 。
输出:降维后的数据集 $\overline{D}$D 。
步骤:

• 计算类内散度矩阵 $S_w$Sw​ 。
• 计算类间散度矩阵 $S_b$Sb​ 。
• 计算矩阵 $S^{-1}_wS_b$Sw−1​Sb​ 。
• 计算矩阵 $S^{-1}_wS_b$Sw−1​Sb​ 的最大的 d 个特征值。
• 计算 d 个特征值对应的 d 个特征向量,记投影矩阵为 W 。
• 转化样本集的每个样本,得到新样本 $P_i = W^Tx_i$Pi​=WTxi​ 。
• 输出新样本集 $\overline{D} = { (p_1,y_1),(p_2,y_2),...,(p_m,y_m) }$D=(p1​,y1​),(p2​,y2​),...,(pm​,ym​)

LDA优缺点

优点

• 可以使用类别的先验知识
• 以标签,类别衡量差异性的有监督降维方式,相对于PCA的模糊性,其目的更明确,更能反映样本间的差异

缺点

• LDA不适合对非高斯分布样本进行降维
• LDA降维最多降到分类数k-1维
• LDA在样本分类信息依赖方差而不是均值时,降维效果不好
• LDA可能过度拟合数据

LDA和PCA的区别

相同点

• 两者俊可以对数据进行降维
• 两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想
• 两者都假设数据符合高斯分布

不同点

LDA	PCA
有监督	无监督
降维最多降到k-1维	降维多少没有限制
可以用于降维,还可以用于分类	只用于降维
选择分类性能最好的投影方向	选择样本点投影具有最大方差的方向
更明确,更能反应样本间的差异	目的较为模糊