第一章：1.1.5信号的分解

如图所示，这是我们本节所讲的主要内容

对于复杂的力研究起来往往比较困难，对此我们往往采用分解的办法来研究，同力学研究过程一样，对于复杂信号的研究我们也需要对其进行分解。

分解介绍与直交分解

如图所示，我们非常喜欢对力进行正交分解，他有诸多很好的性质。

对于信号，我们也可以定义类似的正交的概念。只是这里的累加关系变成了积分。它也反映了这两个信号的相似程度，他们的内机如果为0，则表示这两个信号是正交的

这里我们列出常见的信号分解方式：

现在我们对信号分解的方式进行逐一介绍：

直流与交流分解

直流与交流分量的定义

如图所示，一个信号可以分解成他的直流分量和交流分量两种形式。

直流信号的定义如下，他反应的是信号的平均情况。通常为常量。交流分量的定义是原信号减去直流分量后的结果，他反应的是信号的变化情况。

如图所示，我们可以看到，直流分量是一个常量，而交流分量是不断变化的。

直流与交流分量之间的关系

如图我们可以看到，根据直流分量的定义，交流分量有积分为0的特点。也就是交流分量的面积有始终为0的特点

现在我们探讨一下直流与交流之间内积的关系式

如图所示，因为直流分量为一个常量，因此可以提到积分号的外面，有信号正交的定义可知，二者满足正交的关系。内积为0

正交关系反应了直流分量和交流分量之间有一种不相关的关系，基于此我们讨论另外一个重要结论

周期信号的功率守恒

一个信号的功率定义为信号的平方在一个周期内的平均值。

如图所示，我们将一个信号的功率分解为交流和直流部分。发现：一个信号的功率就等于他的交流部分加上他的直流部分，这就是信号的功率守恒。

奇偶分解

与普通函数一样，任何信号都可以分解为一个偶信号和奇信号的叠加。由此我们也就有了如何将一个信号分解为他的偶分量和奇分量。

我们举一个例子

奇偶分量也满足正交和能量守恒的关系。关于正交的证明见下图：

虚实分解

对于一个复数信号，可以表示为他的实部和虚部之和的形式。他的共轭形式为二者之差。对于三角函数而言，余弦形式为他的实部信号，正弦形式为他的虚部信号。

最后我们列出一下复数的基本知识

脉冲分解

一个离散的时间序列我们可以看成是独立的脉冲信号叠加而成。关于连续时间信号我们可以借助微积分的基本概念。如图所示

如图所示，在无限小的情况下，离散的f(t1)就可以变成了连续的f(t1)阶跃信号函数的某点导数即是脉冲信号

换句话说，一个连续的信号可以看成一系列的冲击信号叠加而成。

我们还可以进一步解释为其采样形式，即是当t趋近于t1的时候，函数变化形式

这种形式就是信号的脉冲分解形式。

以上我们讲的四种分解都满足信号正交的 特点，都满足能量守恒

练习题

如图所示，对于任意周期函数而言，它在任意对称区间（半周期为界）内的积分恒为0。因此由直流分量的定义可知，对于周期信号而言，他的直流分量始终为零。叠加信号求周期的方法是看两个叠加信号的比值是否为有理数，详见1.1.2节：信号的分类