注：目前开通个人网站朝思录，之后的博文将在上面更新，****博客会滞后一点

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矩阵乘法的意义

考虑最基本的矩阵乘法公式：

将A按列分块为A={α1,α2,...,αn}，并将x按行分块为x={x1,x2,...,xn}T ，则(1)式可表示为：

由(2)式可以看出，b为列向量A={α1,α2,...,αn}的线性组合。若将{α1,α2,...,αn}视为空间中的一组基，则b={b1,b2,...,bn}T表示向量x={x1,x2,...,xn}T（该坐标定义在空间基本正交基上，即E（单位矩阵））在基A={α1,α2,...,αn}下的向量，其坐标数值为其在基E下的坐标。
上面的语言可能不是很好理解。这里举一个二维空间中的例子，设点x在基E下的坐标为x={1,2}T；并对x={1,2}T执行运算b=Ax，其中A=2√2(−11−1−1)，可得运算结果如下图所示：

其中红色箭头为单位矩阵E对应的基，在该基下，向量x的坐标为(1,2)；现在，将基E转变为基A（图中蓝色箭头代表基A），此时向量x在基A下的坐标仍为(1,2)，我们用符号b来表示这个向量，可以看到向量b由1个2√2(−1,1)和2个2√2(−1,−1)线性叠加而成。
不严谨地说，如果没有原始的基的参照，向量是无法“感觉”到基的变化的，x在基E下的坐标为(1,2)，而b在基A下的坐标也为(1,2)。到现在为止我们还没有讨论运算b=Ax起到什么作用，这个矩阵乘法其实起到了一个“翻译”功能。正式的说，它将b的在基A下的坐标转化为基E的坐标。
打一个比喻：小蓝生活在基A下的世界，他看到的x坐标为(1,2)，并且他认为自己所处的基为(1001)；而小红生活在基E下的世界，并且她也认为自己所处的基为\left(\begin{array}{ccc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)(1001)。两个世界是相互隔离的。但某一天，某种神秘力量打开了一个虫洞，两个世界得以相互观察。此时小红发现小蓝所处的世界的基相对于自己世界的基而言为\begin{equation}\boldsymbol A =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right)\end{equation}A=2√2(−11−1−1)，而那个世界中的向量\boldsymbol xx相对于自己世界的基而言为：\begin{equation} \boldsymbol x' = \boldsymbol A \boldsymbol x=\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-1 &-1 \\1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}1\\2\end{array}\right) \end{equation} =\frac{\sqrt 2}{2} \left(\begin{array}{ccc}-3\\-1\end{array}\right)
此时小红认为，自己看到的向量是b，但其实x和b都是指同一个向量，只是从不同基的世界中看到的表现不一样而已。可以看出，矩阵乘法在这里起到了同一个向量基与基之间“翻译”的作用。
这里可以有一点造物主的感觉，毕竟我们可以知道小红和小蓝生活的世界的基的绝对坐标，但小红和小蓝都认为他们生活的世界的基为(1001)（不知道笔者处的世界的基是什么样子，但起码笔者认为是(1001)）。他们对彼此世界的评判，都是基于自身所在世界的基。上面我们讨论了小红看小蓝世界的中向量b的坐标，但是如果是小蓝看小红的呢？

矩阵的逆的意义

小蓝看小红的世界，会发现小红世界的基，相对于自己的世界，其坐标为

假设小红的世界也有一个向量y，而小红认为该向量的坐标为(−32√2,−2√2)。此时小蓝会认为该向量的坐标为：
可以看出，矩阵及其逆为两个不同基的世界相互观察的结果。

感觉可以开一个矩阵运算说明的专题，有空整理一下吧