逻辑题——三门问题

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/ 智力题 /

假设你在参加一个春节抽奖游戏，主持人在三个红包里面分别放了 1 块钱、1 块钱和 1000 块钱。你选中哪一个，你就可以领到对应的钱。

当你选定一个红包之后，主持人会打开另外两个红包中是 1 块钱的红包，并给你一次机会更换所选红包。

请问：应不应该换？

/ 过渡 /

逻辑题——三门问题

/ 答案 /

先说答案：要换

问题分析

换了之后有 2/3 的概率拿到 1000 的红包。而不是直觉告诉我们的 1/2.

这个问题的起源叫三门问题

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率。

简单一点的解释就是：当你从三扇门中选择门 A 之后，这扇门后面是车的概率是 1/3，门 B 和门 C 有车的概率也是 1/3。但是接下来主持人会给你一个线索。如果奖品在门 B 后面，主持人会打开门 C；如果奖品在门 C 后面，主持人会打开门 B。因此，如果你改变选择的话，只要奖品在门 B 或门 C 后你都会赢；但是如果你坚持初心，只有奖品在门 A 后你才会赢。

问题拓展一

举个例子：已知三家工厂 A1, A2, A3 的市场占有率分别是 30%,20%,50%，次品率分别是 3%,3%,1%。如果买了一件商品，发现是次品，问它最有可能是哪家公司生产的？

该问题是一个简单的贝叶斯问题。假设 B 表示次品，需要计算的是 P(A1|B)，P(A2|B)，P(A3|B) 的值。根据题目可以得到 P(B|A1) = 0.03, P(B|A2) = 0.03, P(B|A3) = 0.01, P(A1) = 0.3, P(A2) = 0.2, P(A3) = 0.5。根据全概率公式可得

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) = 0.02.

P(A1|B) = P(B|A1)P(A1) / P(B) = 0.45,

P(A2|B) = P(B|A2)P(A2) / P(B) = 0.3,

P(A3|B) = P(B|A3)P(A3) / P(B) = 0.25.

所以，该次品最可能是 A1 工厂生产的。