三分查找
一. 概念
在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找，也就是三分法。
三分查找通常用来迅速确定最值。
二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。
与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：
二、算法过程
（1）、与二分法类似，先取整个区间的中间值mid。
- mid = (left + right) / 2;
（2）、再取右侧区间的中间值midmid,从而把区间分为三个小区间
- midmid=（mid+right）/2;
（3）、我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间？。
比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。
- if (cal(mid) > cal(midmid))
- right = midmid; //mid大，则一定要选择包含mid区间的
- else
- left = mid; //midmid大，则选择的区间要包含midmid
（4）、重复（1）（2）（3）直至找到最值。
算法的正确性：
1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个 数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。
2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值
注：假如是取最大值，则mid和midmid中谁大谁更靠近最终的结果，于是最终选择的区间一定要包含较大者；同样取最小值也是这样的。
三、具体实现
- const double EPS = 1e-10;
- double calc(double x)
- {
- // f(x) = -(x-3)^2 + 2;
- return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2;
- }
- double ternarySearch(double low, double high)
- {
- double mid, midmid;
- while (low + EPS < high)
- {
- mid = (low + high) / 2;
- midmid = (mid + high) / 2;
- double mid_value = calc(mid);
- double midmid_value = calc(midmid);
- if (mid_value > midmid_value)
- high = midmid;
- else
- low = mid;
- }
- return low;
- }