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MIT线性代数第一讲方程组的几何解释

分类: 文章 • 2024-12-17 12:53:16

核心思想:

向量间的基本运算时数乘 $c v$ 和加法 $v + w$ ,其中 $v$ 和 $w$ 是向量， $c$ 代表数字。
线性组合可表示为: $c v + d w$ 。
矩阵和向量的乘法 $A x$ 可以解释为矩阵 $A$ 各列的线性组合。
Column picture: $A x = b$ 是找一个矩阵各列的线性组合使之等于 $b$ 。
Row picture: 每一个等式 $A x = b$ 表示一条直线(n=2)或者平面(n=3)或者一个超平面(n>3)。

求解方程组

\begin{matrix} (710) & {\begin{cases} 2 x & - & y & = & 0 \\ - x & + & 2 y & = & 3 \end{cases} \end{matrix}

写成矩阵形式：

\begin{matrix} (711) & [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] \end{matrix}

1. Row Picture:表示方程所示的两条直线相交于一个点。
MIT线性代数第一讲方程组的几何解释

MIT线性代数第一讲方程组的几何解释

可以得到函数的解为：

\begin{matrix} (712) & [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}] \end{matrix}

2. Column Picture:通过左侧矩阵的列向量的线性组合来产生b。

\begin{matrix} (713) & x [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}] + y [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix}] \end{matrix}

MIT线性代数第一讲方程组的几何解释

可以得到函数的解为：

\begin{matrix} (714) & [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}] \end{matrix}

对任意b是否有解 $\Leftrightarrow$ 列的线性组合是否能覆盖整个空间。
非奇异矩阵即可逆矩阵可以。
如果是奇异矩阵，在行图像中看至少有两个方程组所表示的平面是平行的，在列图像中看至少有两个列向量是指向同一方向的。此时，只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内，方程组才有解。

关键词：线性组合