一、带通和低通信号的表示

1、带通信号及其调制

$\quad$ 带通信号是一种实窄带高频信号，其频谱集中在某个频率 $(+-f_0)$ 附近，且频谱宽度远小于 $f_0$ 的信号。对于这类信号，一般有两种调制方法：

双边带调制DSB：传输信号的信道带宽限制在以载波为中心的一个频段上。
单边带调制SSB：传输信号的信道带宽限制在邻近载波的频段上。

$\quad$ 可以将带通信号简化为等效低通信号，这样可以大大简化带通信号的处理。

2、x(t)的全部信息都包含在正（或负）频域中

$\quad$ 由于 $x(t)$ 的傅里叶变换 $X(f)=X_+(f)+X_{-}(f)=X_+(f)+X_+^*(-f)$ ( $X(f)幅度偶对称，相位奇对称$ )。因此，可以用 $X_+(f)$ 重构 $X(f)$ ，进而重构 $x(t)$ 。
$\quad$ 首先，我们来重构 $x_+(t)$ ：
$x_+(t)=F^{-1}[X_+(f)]=F^{-1}[X(f)u(f)]=F^{-1}[X(f)]*F^{-1}[u(f)]=x(t)*(\frac{1}{2}\delta(t)+j\frac{1}{2\pi t})=\frac{1}{2}[x(t)+j\hat{x}(t)]$
其中， $\hat{x}(t)=x(t)*\frac{1}{\pi t}$ ， $h(t)=\frac{1}{\pi t}$ 是Hilbert变换器。故 $\hat{x}(t)=x(t)*\frac{1}{\pi t}$ 等于将输入信号通过Hilbert变换后的输出。
$\quad$ 希尔伯特变换：
$h(t)=\frac{1}{\pi t}; H(f)=-jsgn(f)$ 相当于是对输入信号的正频率部分引入 $-90^0$ 的相移，负频率部分引入 $90^0$ 的相移。

3、带通信号 $x(t)$ 的等效低通信号 $x_l(t)$

$\quad$ 定义低通信号频率 $X_l(f)=2X_+(f+f_0)$ ，相当于将 $X(f)$ 的正频率部分左移 $f_0$ 的二倍。
根据 $X_l(f)$ ，我们来求出 $x_l(t)$ 的表达式：
$x_l(t)=F^{-1}[X_l(f)]=2x_+(t)e^{-j2\pi f_0t}=[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{-j2\pi f_0t}\\ =[x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t]+j[\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t]$
$\quad$ 根据 $x_l(t)=[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{-j2\pi f_0t}$ 可以得到原信号 $x(t)$ 与其低通信号 $x_l(t)$ 的关系：

复包络表达式

$x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}\\ X(f)=\frac{1}{2}[X_l(f-f_0)+X_l^*(-f-f_0)]$

正交表达式

$\quad$ 令 $x_l(t)=x_i(t)+jx_q(t)$ ， $x_i(t)$ 为同相分量， $x_q(t)$ 为正交分量， $x_i(t)=x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t，x_q(t)=\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t$ 。可求出 $x(t)$ 与 $x_i(t)和x_q(t)$ 的关系：
$x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}=Re\{[x_i(t)+jx_q(t)]e^{j2\pi f_0t}\}\\ =Re\{x_i(t)e^{j2\pi f_0t}+jx_q(t)e^{j2\pi f_0t}\}\\ =x_i(t)cos2\pi f_0t-x_q(t)sin2\pi f_0t$

极坐标形式

$\quad$ 带通信号 $x_l(t)=x_i(t)+jx_q(t)=\sqrt{x_i^2(t)+x_q^2(t)}e^{jtan^{-1}\frac{x_q(t)}{x_i(t)}}$ ，其中 $r_x(t)=\sqrt{x_i^2(t)+x_q^2(t)}$ 成为其包络， $\theta_x(t)=tan^{-1}\frac{x_q(t)}{x_i(t)}$ 称为其相位。下图即为带通信号及其包络：
数字通信第二章——确定与随机信号分析
$\quad$ 利用 $x_l(t)=r_x(t)e^{j\theta_x(t)}$ 可得 $x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}=Re\{r_x(t)e^{j\theta_x(t)}e^{j2\pi f_0t}\}\\ =Re\{r_x(t)e^{j2\pi f_0t+\theta_x(t)}\}\\ =r_x(t)cos[2\pi f_0t+\theta_x(t)]$

4、调制——低通变为带通的过程

$\quad$ 这一步即为从 $x_l(t)$ 变为 $x(t)$ 的过程。

$x(t)=Re\{x_l(t)e^{j2\pi f_0t}\}$
$x(t)=x_i(t)cos2\pi f_0t-x_q(t)sin2\pi f_0t$

5、解调——从带通信号中提取低通信号的过程

$x_l(t)=[x(t)+j\hat{x}(t)]e^{-j2\pi f_0t}$
$x_l(t)=[x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t]+j[\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t]$
$x_i(t)=x(t)cos2\pi f_0t+\hat{x}(t)sin2\pi f_0t，x_q(t)=\hat{x}cos2\pi f_0t-x(t)sin2\pi f_0t$
$x_l(t)=x_i(t)+jx_q(t)$

6、带通和对应低通信号的能量关系

$\quad$ 信号 $x_(t)$ 的信号定义为 $\varepsilon_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x^2(t)|dt$ 。
$\varepsilon_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x^2(t)|dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2df\\ =\int_{-\infty}^{+\infty}|X_+(f)+X_{-}(f)|^2df=2\int_{-\infty}^{+\infty}|X_+(f)|^2df\\ =2\int_{-\infty}^{+\infty}|\frac{X_l(f)}{2}|^2df=\frac{1}{2}\varepsilon_{xl}$
在上述证明过程中用到了 $X_l(f)=2X_+(f+f_0)$ ，最终结论如下：
等效低通的能量是带通信号能量的2倍！

7、基带的正交性蕴含带通的正交性

$\quad$ 信号 $x(t),y(t)$ 的正交性 $\rho_{x,y}=\frac{<x(t),y(t)>}{\sqrt{\varepsilon_x\varepsilon_y}}$ ，其对应低通信号 $x_l(t),y_l(t)$ 的正交性 $\rho_{x_l,y_l}=\frac{<x_l(t),y_l(t)>}{\sqrt{\varepsilon_{xl}\varepsilon_{yl}}}$ 。
$\quad$ 引理1： $<x(t),y(t)>=\frac{1}{2}Re[<x_l(t),y_l(t)>]$ ，证明如下：
数字通信第二章——确定与随机信号分析
$\quad$ 引理2： $\varepsilon_{xl}=2\varepsilon_{x}$

$\quad$ 由上面两个引理，可以得到 $\rho_{x,y}=Re(\rho_{x_l,y_l})$ 。如果 $\rho_{x_l,y_l}=0$ ，那么 $\rho_{x,y}=0$ ；反之则不成立。因此可以得到如下结论：基带的正交性蕴含带通的正交性，反之则不然。

8、带通系统的等效低通

$\quad$ 带通信号中输入输出的关系与其等效低通的输入输出关系相似，唯一的差别就是等效低通中引入了 $\frac{1}{2}$ 因子。
数字通信第二章——确定与随机信号分析
$\quad$ 结论：在研究带通信号与系统时，不必考虑调制中遇到的任何线性频率搬移，只需讨论等效低通信号通过等效低通信道的传输。