007比力方程

比力方程是惯性导航系统的基本方程，它解决了惯性导航中加速度计的测量值（比力）和导航参数（速度）之间的关系。为使自己对其有足够的了解，通过自己的认知将其推导一下，在此标记。
注：本文依据《惯性导航(第二版)》（秦永元）

一、相关符号及概念的描述

1、比力 $\vec{f}$ （specific force）：单位质量上作用的非引力的外力，用公式表示为 $\vec{f} = \frac{\vec{F}}{m}$ 。在我的理解中，一直都把比力当作加速度计测量的加速度。
2、地心惯性系（i系）、地球坐标系(e系)、理想平台坐标系(T系，导航坐标系的无误差复现)
3、 $\vec{R}$ 表示地心至T系的支点引的位置矢量，可以认为是地心至T系原点（即机体中心）的连线矢量。
4、 $\frac{d \vec{R}}{d t} |_{i}$ 表示矢量 $\vec{R}$ 相对于i系对时间的一阶导数，即机体相对于i系的速度。
5、 $\frac{d \vec{R}}{d t} |_{e}$ 表示矢量 $\vec{R}$ 相对于e系对时间的一阶导数，即机体相对于e系的速度，或者机体相对于地球的运动速度，即地速，记为 ${\vec{V}}_{e T}$ 。
6、 ${\vec{ω}}_{i e}$ 表示e系相对于i系的转动角速度，实际就是地球的自转角速度矢量，是一个常矢量。其他的矢量 $\vec{ω}$ 表示意义同理。
7、 $m \vec{G}$ 表示质量 $m$ 所受地球的万有引力，方向指向地心。
8、 $\vec{G}$ 表示引力加速度。
9、 $m \vec{g}$ 表示质量 $m$ 所受的重力，方向垂直于地面向下。
10、 $\vec{g}$ 表示重力加速度。
11、 ${\vec{F}}_{c}$ 表示维持质量 $m$ 跟随地球旋转的向心力，实质为万有引力分量。

二、公式铺垫

1、万有引力

007比力方程
如图所示，显然：

m \vec{G} = m \vec{g} + {\vec{F}}_{c}

故

\vec{G} = \vec{g} + {\vec{a}}_{c} - - - - - - - - - - - - - - - - - (1)

2、加速度

设平台上加速度计质量块的质量为 $m$ ，其受到的力为非引力外力 $\vec{F}$ 和地球引力 $m \vec{G}$ ，根据牛顿第二定律：

\vec{F} + m \vec{G} = m \frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} |_{i}

所以：

\frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} |_{i} = \vec{f} + \vec{G} - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2)

三、比力方程的推导

通过公式 $(2)$ 可以看出，表示出比力 $\vec{f}$ 必须要求得 $\frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} |_{i}$ 和 $\vec{G}$ 。首先求 $\frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} |_{i}$ ，即机体相对于i系的加速度，我们首先求机体相对于i系的速度 $\frac{d \vec{R}}{d t} |_{i}$ 。
根据哥氏定理可得：

\frac{d \vec{R}}{d t} |_{i} = \frac{d \vec{R}}{d t} |_{e} + {\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}

即：

\frac{d \vec{R}}{d t} |_{i} = {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R} - - - - - - - - - - - (3)

注：对于哥氏定理不清楚的可以参考006哥氏定理.
再次解释一下，该公式表示：机体相对于i系的速度等于机体相对于e系的速度加上牵连点的速度。
对上式再次求导，可得：

\frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} |_{i} = \frac{d}{d t} |_{i} ({\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) = \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{i} + \frac{d}{d t} |_{i} ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) - - - - - - - (4)

公式 $(4)$ 右边第一部分再次利用哥氏定理得：

\frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{i} = \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} + {\vec{ω}}_{i T} \times {\vec{V}}_{e T}

其中，

{\vec{ω}}_{i T} = {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}

，这表示T系相对于i系的角速度等于e系相对于i系的角速度与T系相对于e系角速度之和。
即：

\frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{i} = \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} + ({\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}) \times {\vec{V}}_{e T} = \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} + {\vec{ω}}_{i e} \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{e T} \times {\vec{V}}_{e T} - - - - - - - (5)

公式(4)右边第二部分：

由于 ${\vec{ω}}_{i e}$ 是一个常矢量，所以可得：

\frac{d}{d t} |_{i} ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) = {\vec{ω}}_{i e} \times \frac{d}{d t} |_{i} (\vec{R}) = {\vec{ω}}_{i e} \times \frac{d \vec{R}}{d t} |_{i}

将公式

(3)

代入可得：

\frac{d}{d t} |_{i} ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) = {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) = {\vec{ω}}_{i e} \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) - - - - - - - (6)

将公式 $(5)$ 和公式 $(6)$ 代入公式 $(4)$ 可得：

\frac{d^{2} \vec{R}}{d t^{2}} |_{i} = \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} + {\vec{ω}}_{i e} \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{e T} \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R})

= \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} + (2 {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}) \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) - - - - - - (7)

将公式(2)代入公式(7)可得：

\vec{f} + \vec{G} = \frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} + (2 {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}) \times {\vec{V}}_{e T} + {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R})

即：

\frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} = \vec{f} - (2 {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}) \times {\vec{V}}_{e T} + \vec{G} - {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) - - - - - - - - (8)

下面还要看一个图：

在这个图中，动点为S，矢量

\vec{R}

如上文定义。
角速度

{\vec{ω}}_{i e}

方向如图所示。
这样，根据右手规则，线速度

{\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}

如图所示（搞错线速度方向的同学请注意两矢量的方向）。
那么

{\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R})

得到向心加速度，根据右手法则方向指向地轴。
令：

{\vec{a}}_{c} = {\vec{ω}}_{i e} \times ({\vec{ω}}_{i e} \times \vec{R}) - - - - - - - - - (9)

将

(9)

代入

(8)

得：

\frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} = \vec{f} - (2 {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}) \times {\vec{V}}_{e T} + \vec{G} - {\vec{a}}_{c} - - - - - - - - (10)

再将

(1)

代入

(10)

得：

\frac{d {\vec{V}}_{e T}}{d t} |_{T} = \vec{f} - (2 {\vec{ω}}_{i e} + {\vec{ω}}_{e T}) \times {\vec{V}}_{e T} + \vec{g} - - - - - - - - (10)

该公式即为比力方程。关于比力方程就不再多做介绍。

换用vs code中的markdown编辑器，但是公式编号“\tag”不能用，网上也没有查到用法，只好这样编号。如果哪位看到这里，请不吝赐教！谢谢！