随机变量及其分布

一、随机变量

1、定义：随机试验的样本空间S={e},X=X{e}是定义在样本空间S上的实值单数函数，称X=X(e)为随机变量。

按照我的理解就是：将样本空间的样本点（随机事件）用变量来表示，这样可以方便表示和计算概率。

 

二、离散型随机变量及其分布律

1、离散型随机变量（X）：随机变量的值是有限个或可列无限个时，这样的随机变量称为离散型随机变量。

比如抛硬币，将正面朝上随机事件的随机变量设置为0，反面朝上的随机事件的随机变量设置为1。随机变量只有{0,1}，此时的随机变量就是离散型随机变量。

2、X的分布律：用表格的形式来表示随机变量及其概率大小；

3、（0-1）分布：随机变量X只可能取0与1两个值的分布。

这是一个非黑即白的问题，只要两种可能的随机事件。

4、伯努利试验、二项分布

• 伯努利试验：试验E只有能个可能的结果；
• 将伯努利试验E重复n次就是n重伯努利试验；
• 例如：抛硬币就是伯努利试验E，重复四次抛硬币就是四重伯努利试验。
• 二项分布：

• 二项分布的特殊情况：（0-1）分布，当n=1的时候，二项分布为：

5、泊松分布

• 泊松分布：就是各个X的取值是满足一定条件的分布，这个条件与X满足一定的数学关系。如下所示：

• 泊松定理：

三、随机变量的分布函数

上面讨论的是离散型的X分布情况，对于非离散型X的取值不能一一的列举出来，因此就不能像离散型X那样可以用分布律来描述它。对于非离散型随机变量，我们并不关心X在某个点的概率大小，而是更多的关系X在某区域范围内的概率情况。因此，引用随机变量的函数分布来对非离散型随机变量进行表示。

1、定义：

四、连续型随机变量及其概率密度

1、连续型随机变量X：是非离散型的随机变量X的一种情况；

2、概率密度和概率密度函数：

• 概率密度函数f(x)就是连续变量x的概率大小，简称概率密度；

3、均匀分布：满足一下条件的连续随机变量X。

4、指数分布：概率密度函数是由指数组成的随机变量分布。

5、正态分布

• 定义：

• 性质：

• 标准正态分布

 

五、随机变量的函数分布

有些随机变量的函数是可以直接测量得到的，而有些随机变量的函数是不可以直接得到的，它需要通过别的已知的随机变量函数来计算得到。下面将学习如何通过已知的随机变量X的概率分布去求得其他的随机变量的概率分布。

   [当X取x时，Y取值g(x)]