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第三十二讲 极限环

分类: 文章 • 2025-01-16 09:50:28

一，预备知识：
非线性一阶微分自治方程组的一般形式：
{x′=f(x,y)y′=g(x,y)\left\{\begin{matrix}{x}'=f(x,y)\\ {y}'=g(x,y)\end{matrix}\right.
等式右边不显含变量t
等式右边是非线性函数（如三角函数、二次项）

速度场：F⃗=fi^+gj^=x′i^+y′j^\vec{F}=f\widehat{i}+g\widehat{j}={x}'\widehat{i}+{y}'\widehat{j}
（多变量微积分第十二讲有详解）

方程组的解[x(t)y(t)]\begin{bmatrix}x(t)\\ y(t)\end{bmatrix}即速度场F⃗\vec{F}的轨迹

方程组[x′y′]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}即速度场F⃗\vec{F}轨迹上的速度向量

临界点（驻点）[x=x0y=y0]\begin{bmatrix}x=x_{0}\\ y=y_{0}\end{bmatrix}是常数解，从场的角度看，他们是F⃗=0\vec{F}=0的地方，或者说速度向量[x0′=0y0′=0]\begin{bmatrix}{x}'_{0}=0\\ {y}'_{0}=0\end{bmatrix}的地方

二，闭合轨迹：
第三十二讲 极限环
如图，闭合轨迹是一个周期性回到原始状态的方程组。
例如：{x′=yy′=−x\left\{\begin{matrix}{x}'=y\\ {y}'=-x\end{matrix}\right.
矩阵化：[x′y′]=[01−10][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}
特征值：λ=±i\lambda =\pm i
通解：[xy]=c1[cos(t)−sin(t)]+c2[sin(t)cos(t)]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}cos(t)\\ -sin(t)\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}sin(t)\\ cos(t)\end{bmatrix}
图解：
第三十二讲 极限环
三，极限环：
第三十二讲 极限环
如图，极限环是一个闭合轨迹，并且是唯一且稳定的环。周围的轨迹（蓝色线）螺旋靠近，但不与极限环相交。稳定性是指周围的轨迹，无论是从外面还是从里面出发，最终都会靠近极限环。
极限环是简单曲线，即曲线不和自己相交。因为如果相交，速度向量就不是唯一的了。

物理含义：极限环表示自然界里一些有运动周期的系统，即便受到干扰，也会逐渐回到原先的周期状态。比如，呼吸的频率，即使在某一时间可以控制改变呼吸的频率，但当不去控制的时候，就会自然变回原来的频率。人血液中各种荷尔蒙和二氧化碳的水平，让会使人的呼吸回到自然状态。

四，极限环存在性的问题：
判断是否存在：目前还没有办法判断一个方程组是否有极限环。庞加莱-本迪克松定理已经过时，找极限环困难的地方是：你不知道在什么地方找它们，除非方程组背后的物理系统暗示存在某种周期性的现象。因此目前找极限环的方法是：用计算机搜索，并由物理意义指引。

判断是否不存在：
本迪克松准则：如果D是平面的一个区域，f(x,y)和g(x,y)都是连续函数，散度divF⃗=fx+gy≠0div\vec{F}=f_{x}+g_{y}\neq 0，那么区域D内不存在极限环，也不存在闭合轨迹。
例如：{x′=x3+y3y′=3x+y3+2y\left\{\begin{matrix}{x}'=x^{3}+y^{3}\\ {y}'=3x+y^{3}+2y\end{matrix}\right.
计算divF⃗=3x2+3y2+2≠0div\vec{F}=3x^{2}+3y^{2}+2\neq 0
因此在x-y平面上，不存在闭合轨迹。
反证法证明本迪克松准则：
第三十二讲 极限环
如图，假设区域D内，散度divF⃗≠0div\vec{F}\neq 0存在一个闭合轨迹C，闭合轨迹内部记为R，n^\widehat{n}表示单位法向量。
计算这条曲线的线积分（F⃗\vec{F}通过C的通量积分）：∮CF⃗⋅n^ds\oint_{C}\vec{F}\cdot \widehat{n}ds
因为F⃗\vec{F}切于曲线，而n^\widehat{n}垂直于曲线，所以∮CF⃗⋅n^ds=0\oint_{C}\vec{F}\cdot \widehat{n}ds=0
格林定理：∮CF⃗⋅n^ds=∬RdivF⃗dA\oint_{C}\vec{F}\cdot \widehat{n}ds=\iint_{R}div\vec{F}dA
因此：∬RdivF⃗dA=0\iint_{R}div\vec{F}dA=0
因为假设区域D内，散度divF⃗≠0div\vec{F}\neq 0，所以在R范围内，divF⃗div\vec{F}要么都>0，要么都<0，不存在有些>0有些<0的情况（这种情况会在正值和负值之间产生divF⃗=0div\vec{F}=0的点）。
因此：∬RdivF⃗dA\iint_{R}div\vec{F}dA要么>0，要么<0
两个结论矛盾，证明散度divF⃗≠0div\vec{F}\neq 0不存在一个闭合轨迹C

临界点准则：
例如，判断方程组{x′=x2+y2+1y′=x2−y2\left\{\begin{matrix}{x}&#x27;=x^{2}+y^{2}+1\\ {y}&#x27;=x^{2}-y^{2}\end{matrix}\right.是否存在极限环
利用本迪克松准则，计算divF⃗=2x+2ydiv\vec{F}=2x+2y，在y=x这条线上，divF⃗=0div\vec{F}=0
依据此准则，可以判断在不含y=x这条线的区域不存在闭合轨迹，但却不能判断包含y=x这条线相交的区域也不存在闭合曲线，因为有些地方divF⃗=0div\vec{F}=0
临界点准则：假设在x-y平面D区域内，存在一个闭合轨迹C，则在闭合轨迹内部R某处必定存在一个临界点。因此，如果D区域内没有临界点，则区域内没有闭合轨迹，更没有极限环。
因为x′=x2+y2+1≠0{x}&#x27;=x^{2}+y^{2}+1\neq 0，所以不存在临界点。
因此没有极限环。

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