直方图匹配

直方图均衡技术，可以自动地确定变换函数，而产生具有均匀直方图的输出图像。但是不同图像出现的问题不尽相同，有时根据图像的某种缺陷，我们需要得到处理后具有特殊直方图的图像。均衡化这样单一的方法显然不能成为万能钥匙。

直方图匹配，又称直方图规定化。与直方图均衡化不同，直方图均衡试图使输出图像具有一个平坦的直方图，而直方图匹配是为了得到一个特定的直方图。

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基本原理

直方图规定化的基本思路是：对原图像直方图和目标直方图都做均衡化，变成相同的归一化的均匀直方图。然后以此均匀直方图为媒介，再对原图像做均衡化的逆运算。

设原图像和输出图像的灰度变量分别为r和z，并令pr(r)和pz(z)表示他们所对应的概率密度函数，分别对r和z作如下变换：

由于两个式子都为均匀化变换，可得T(r)=G(z)，因此z满如下条件：

在实践中，一个困难是寻找T(r)和G−1的有意义的表达式。在处理离散变量时，问题可以大大简化。下面的方法仅为了得到一个近似的直方图。为方便起见，我们重写公式如下：

其中MN是图像的像素总数，nj是具有灰度值rj的像素数，L是图像中可能的灰度级数。类似地，对目标直方图随机变量的计算变换函数

对一个q值，有

实际操作过程中，我们不需要计算G的反变换。因为我们处理的图像灰度级是整数（如8比特图像的灰度级是0到255）。我们可以将G变换存储在一个表中，然后根据给定的sk值，查找存储在表中最匹配的zq值。

实现过程

1. 计算原图像的直方图pr(r)，并寻找直方图均衡变换，得到sk并四舍五入为范围[0,L-1]内的整数。
2. 对q=0,1,...,L−1计算变换G的所有值，其中pz(zi)是规定直方图的值。把G的值四舍五入为范围[0,L-1]内的整数，并存储在一个表中。
3. 对每个值s0,s1,...,sL−1，使用步骤2中存储的G值寻找相应的zq值，以使G(zq)最接近sk，并存储这些sk到zq的映射。
4. 对输入图像进行均衡化，然后使用步骤3找到的映射把该图像中的每个均衡后的像素值sk映射为直方图规定化后的图像中的相应值zq，形成直方图规定化后的图像。

计算例子

设输入为大小为64x64像素的3比特数字图像，其灰度分布、直方图值、均衡化后的值（四舍五入）为：

rk	nk	pr(rk)	sk=7∑kj=0pr(rj)
r0=0	790	0.19	1
r1=1	1023	0.25	3
r2=2	850	0.21	5
r3=3	656	0.16	6
r4=4	329	0.08	6
r5=5	245	0.06	7
r6=6	122	0.03	7
r7=7	81	0.02	7

设规定直方图为：

zq	pz(zq)	G(zq)=7∑qj=0pz(zj)
r0=0	0.00	0
r1=1	0.00	0
r2=2	0.00	0
r3=3	0.15	1
r4=4	0.20	2
r5=5	0.30	5
r6=6	0.20	6
r7=7	0.15	7

将所有的sk值映射到相应的zq值：

sk	→	zq
1	→	3
3	→	4
5	→	5
6	→	6
7	→	7

如图显示了变换过程：

虽然图(d)的最终结果并不完全与规定的直方图匹配，但达到了将灰度明确移向灰度级高端的目的。