1 浮点数的一般表示

$J_f$Jf​	$J_1J_2\dots J_m$J1​J2​…Jm​	$S_f$Sf​	$S_1S_2\dots S_n$S1​S2​…Sn​
阶符	阶码	数符	尾数

阶码的位数决定了浮点数的表示范围的大小，尾数的位数决定了浮点数的表示精度

• 阶符：阶码的符号位。1为负；0为正
• 阶码：即幂的大小。设幂$e=(J_1J_2\dots J_m)_2$e=(J1​J2​…Jm​)2​
• 数符：尾数的符号位。1为负；0为正
• 尾数：尾数的大小。设尾数$M=(S_1S_2\dots S_n)_2$M=(S1​S2​…Sn​)2​

一般基数$r=2$r=2，则浮点数真值$N=(-1)^{J_f}*r^e*(-1)^{S_f}*M$N=(−1)Jf​∗re∗(−1)Sf​∗M

2 IEEE 754标准的浮点数

2.1 规格化浮点数的格式

$m_s$ms​	$E$E	$M$M
数符	阶码，用移码表示	尾数，用原码表示

• 数符：尾数的符号位。1为负；0为正
• 共三部分组成，省略了阶符。因为移码就隐含表示了阶码的正负
• 规定尾数的最高有效位必须为1，若尾数最高有效位不是1，则需要进行左归（即尾数整体左移一位），每左归一次，阶码加1，直到最高有效位为1
• 尾数部分隐藏了一个整数1（隐藏一位1是为了增加一位有效位），因此尾数的实际大小为$1+M=1.M$1+M=1.M

基数为2，因此浮点数真值$N=(-1)^{m_s}*2^E*(1.M)_2$N=(−1)ms​∗2E∗(1.M)2​

类型	数符	阶码	尾数	总位数	阶码偏置值（十进制）
短浮点数	1	8	23	32	127
长浮点数	1	11	52	64	1023
临时浮点数	1	15	64	80	16383

1 关于阶码

• 阶码的偏置值。阶码部分用移码表示，假设阶码为 n 位，则阶码偏置值取 $2^{n-1}-1$2n−1−1，因此短浮点数、长浮点数、临时浮点数阶码偏置值为$2^{8-1}-1=127、2^{11-1}-1=1023、2^{15-1}-1=16383$28−1−1=127、211−1−1=1023、215−1−1=16383；
• 阶码的取值范围。假设阶码为 n 位，则可表示的范围为 $0到2^{n}-1$0到2n−1，，因此短浮点数、长浮点数的阶码取值范围为 0到255、0到2047。又规定当阶码全0时用来表示非规格化数，阶码全1时用来表示无穷大，所以阶码E的实际取值范围为 1到254、1到2046；
• 阶码的实际大小。阶码采用移码的形式表示，阶码的实际大小需要减去对应的偏置值，通过这种方式来表示阶码的正负值。所以短浮点数、长浮点数的阶码实际大小为 $E-偏置值$E−偏置值，即 $1-127=-126到254-127=127、1-1023=-1022到2046-1023=1023$1−127=−126到254−127=127、1−1023=−1022到2046−1023=1023

2.关于尾数

假设尾数位数为 m 位，因为尾数部分隐含了一位整数1，所以尾数的实际位数为 m+1 位，因此因此短浮点数、长浮点数、临时浮点数、临时浮点数尾数实际有效位数为24、53、65位，真值为 $1.M$1.M

因此，规格化短浮点数的真值为
$(-1)^{m_s}*(1.M)*2^{E-127}$(−1)ms​∗(1.M)∗2E−127
规格化长浮点数的真值为
$(-1)^{m_s}*(1.M)*2^{E-1023}$(−1)ms​∗(1.M)∗2E−1023

2.2 规格化浮点数的取值范围

以短浮点正数为例：

当阶码和尾数都取最小时（E=1，M=0），表示的数值最小，阶码部分为 $1-127=-126$1−127=−126，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位0；

当阶码和尾数都取最大时（E全1，M全1），表示的数值最大，阶码部分为 $254-127=127$254−127=127，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位1；

所以取值范围为 $1.0\times 2^{-126}到1.11\dots 1\times 2^{127}$1.0×2−126到1.11…1×2127，即

格式	正数	负数
单精度	$2^{-126}到(2-2^{-23})\times 2^{127}$2−126到(2−2−23)×2127	$-2^{-126}到-(2-2^{-23})\times 2^{127}$−2−126到−(2−2−23)×2127
双精度	$2^{-1022}到(2-2^{-52})\times 2^{1023}$2−1022到(2−2−52)×21023	$-2^{-1022}到-(2-2^{-52})\times 2^{1023}$−2−1022到−(2−2−52)×21023

2.3 类型转换时的精度损失和溢出

这里以C语言为例。C语言中的float、double型分别对应IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数，一个int型数据占4个字节、float占4字节、double占8字节。

1 溢出

• 当float、double向int转换时可能会发生溢出，比如有符号int型表示的数据范围为 $2^{-31}到2^{31}-1$2−31到231−1，而float、double类型的数据的表示范围超过了int类型
• 当double向float、int转换时可能会发生溢出

2.精度损失

• 当int向float转换时可能会发生溢出，因为int类型共四字节32位，而float尾数的有效位数为24位，当int型数据的有效位数超过24的话就会发生精度损失。比如
  $unsigned \quad int\quad m = FFFF \quad FFFFH\\ 即（2-2^{-31})\times 2^{31}$unsignedintm=FFFFFFFFH即（2−2−31)×231
  因为 m 的尾数部分共31位1，超过了float的23位（不含隐藏的一位1），超出的1会被舍掉，所以就会产生精度损失

• 当double向float、int转换时可能会有精度损失，因为double类型尾数的有效位数位53，超过了float的24；而且浮点数向整数转换时，若是小数部分不为0，一定会有精度损失，因为整数没有小数部分