【Linear Algebra 线性代数】9、线性相关、基和维数

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个人笔记

线性相关、基和维数

这一节要介绍的内容：
① 对于向量组，什么是线性相关(dependent)，什么是线性无关(independent)；
② 什么是生成(Span)一个空间；
③ 什么是向量组的基(a basis of a subspace or a basis for a vector space)；
④ 什么是子空间的维数(the dimension of the subspace)。

线性相关性(Linear Correlation)

假设有m$m$行n$n$列矩阵A$A$，m<n$m<n$。
我们可以推出Ax=0$Ax=0$含有非零解，因为m<n$m<n$，A$A$消元后一定存在自由向量(至少一个)。

什么条件下，向量x1,x2,⋯,xn$x_1,x_2,\cdots ,x_n$之间是线性无关的？存在结果为零的线性组合吗？
=======================思考线=======================
除了系数全为0的情况(因为系数全为0，结果必为零向量)，
如果存在一种组合使得各向量的线性组合为零向量，那么它们是线性相关的；
如果不存在一种组合使得各向量的线性组合为零向量，那么它们是线性无关的。
即c1x1+c2x2+,⋯,cnxn=0$c_1{x}_1+c_2{x}_2+,\cdots ,c_n{x}_n=0$?

举个栗子：
在二维空间中

1) 向量v$v$和2v$2v$相关，因为2∗v−2v=0$2\ast v-2v=0$；
2) 向量v1$v_1$和v2$v_2$相关，因为0v1+cv2=0$0v_1+c{v}_2=0$，c$c$可以是任意实数；
3) 向量v3$v_3$和v4$v_4$无关，因为只有0v3+0v4=0$0v_3+0v_4=0$；
4) 向量v3,v4$v_3,v_4$和v5$v_5$相关，这三个向量的所有线性组合可以构成一个平面，平面内任意三个向量一定是相关的。Why？
=======================思考线=======================
假设向量v3,v4$v_3,v_4$和v5$v_5$构成矩阵：

该矩阵消元后存在自由变量，因此除零解外，仍有其他解使得Ax=0$Ax=0$。
即如果零空间N(A)存在非零向量，那么矩阵A各列相关。

正规点的定义：
当各向量v1,v2,⋯,vn$v_1,v_2,\cdots ,v_n$都是矩阵A的列向量，
若零空间内只有零向量，那么矩阵A各列线性无关；
若零空间内存在非零向量，那么矩阵A各列线性相关。

可以看出：
线性无关时：
　亿 矩阵A的秩等于列数n，即r=n$r=n$；
　② 零空间N(A)内只有零向量；
　③ 矩阵A消元后不存在自由变量。
线性相关时：
　① 矩阵A的秩小于列数n，即r<n$r<n$；
　② 零空间N(A)不只有零向量，还有其他的非零向量；
　③ 矩阵A消元后存在自由变量(至少一个)。

注意，这里我们只对向量组讨论线性相关性，而不对矩阵讨论、

向量组生成一个空间(Spanning a space)

我们已经知道，矩阵各列向量的所有线性组合将生成一个列空间。
向量组生成一个空间意味着：
假设各向量v1,v2,⋯,vl$v_1,v_2,\cdots ,v_l$生成一个空间意味着这个空间包含这些向量的所有线性组合。

向量空间的一组基(A basis of vector space)

某个向量空间的一组基包含d个向量v1,v2,⋯,vd$v_1,v_2,\cdots ,v_d$，这些向量有两大性质：
1) 它们是线性无关的；
2) 它们生成整个向量空间。

举个栗子：
求三维空间内的一组基(基不唯一)。
1) 容易想到⎡⎣⎢100⎤⎦⎥,⎡⎣⎢010⎤⎦⎥,⎡⎣⎢001⎤⎦⎥$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$是一组基，就像是x$x$轴，y$y$轴和z$z$轴，只有
0⎡⎣⎢100⎤⎦⎥+0⎡⎣⎢010⎤⎦⎥+0⎡⎣⎢001⎤⎦⎥=0$0\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=0$，换种说法，这三个向量可以构成单位矩阵，单位矩阵的零空间只有零向量。
2) 随便给出两个向量⎡⎣⎢112⎤⎦⎥,⎡⎣⎢225⎤⎦⎥$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 5\end{array}\right]$，显然这两个向量是线性无关的，但它们能构成一组基吗？不能，它们所有线性组合构成一个平面，它们是这个平面的一组基，但不是R3$R^3$的一组基。
3) ⎡⎣⎢112⎤⎦⎥,⎡⎣⎢225⎤⎦⎥,⎡⎣⎢???⎤⎦⎥$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}?\\ ?\\ ?\end{array}\right]$，加一个向量，我们应该填入什么才能使得这三个向量构成R3$R^3$的一组基呢？显然，不能填入(3,3,7)$(3,3,7)$，因为这样这三个向量就线性相关了，它们生成了一个R2$R^2$空间，即一个平面，而作为一组基它们必须是线性无关的，因此我们只需要取一个不在该平面的向量即可，我们可以取(3,3,8)$(3,3,8)$。

那么我们如何检验一组向量v1,v2,⋯,vn$v_1,v_2,\cdots ,v_n$是否能够构成一组基呢？
=======================思考线=======================
我们可以将各向量当成列向量，构成矩阵，对矩阵消元，看看消元后是否存在自由变量。

拓展到n维空间，如果Rn$R^n$中n个向量要构成基，以这n个向量为列的nxn矩阵要满足什么条件？
　该矩阵要可逆！

任意3x3可逆矩阵，其各列向量都能构成一组R3$R^3$的基，但R3$R^3$内不止这一组基，基有很多，但它们都有共同之处：
　对于给定向量空间，其所有基的向量个数都相等。我们称这个个数为该向量空间的维数。

维数(Dimension of space)

对于给定向量空间，其所有基的向量个数都相等。我们称这个个数为该向量空间的维数。

总结

1) 线性相关性(Linear correlation)：关键在于除0外，是否存在一种组合使得各向量的线性组合为零向量；
2) 生成空间(Spanning a space)：关键在于，各向量的所有线性组合；
3) 基(Basis)：关键在于一组线性无关的向量，而且它们能生成空间；
4) 维数(Dimension of a space)：关键在于一组基中基向量的个数。

栗子：
假设有列空间C(A)

1) 各列能够生成列空间
2) 各列向量线性相关，存在非0向量使得Ax=0$Ax=0$，例如：
−1⎡⎣⎢111⎤⎦⎥−1⎡⎣⎢212⎤⎦⎥+1⎡⎣⎢323⎤⎦⎥+0⎡⎣⎢111⎤⎦⎥=0$-1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]-1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 3\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=0$
3) 我们可以给出一组C(A)的基：列1和列2⎡⎣⎢111⎤⎦⎥,⎡⎣⎢212⎤⎦⎥$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right]$
可以看出矩阵A的秩：
　Rank(A) = 主列个数 = 列空间的维数
注意：
　矩阵才有秩，子空间没有秩；
　所有主列可以构成一组基；
　是列空间的维数，不是A的维数。

我们可以给出另一组基，列1和列3或者列2和列4再或者我们可以给出一组不是由主列构成的基：⎡⎣⎢222⎤⎦⎥,⎡⎣⎢757⎤⎦⎥$\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}7\\ 5\\ 7\end{array}\right]$
到这里，我们知道列空间的维数为2，即dimC(A)=2$dimC(A)=2$，那么，如果有两个属于R4$R^4$的线性无关的向量，他们就能构成一组基。

那么，零空间的维数是多少？
=======================思考线=======================
对于N(A)，我们可以找到它的两个特殊解⎡⎣⎢⎢⎢−1−110⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−1001⎤⎦⎥⎥⎥$\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
令{x3=1x4=0$\{\begin{array}{l}{x}_3=1\\ x_4=0\end{array}$可以得到第一个特殊解，
令{x3=0x4=1$\{\begin{array}{l}{x}_3=0\\ x_4=1\end{array}$可以得到第二个特殊解。

这两个特殊解是否构成了零空间的一组基？
当然，因为N(A)=c⎡⎣⎢⎢⎢−1−110⎤⎦⎥⎥⎥+d⎡⎣⎢⎢⎢−1001⎤⎦⎥⎥⎥$N(A)=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

因此我们可以得出：
　自由变量个数 = 零空间维数

下一节介绍四个基本子空间~

本节有一个地方有错误，下一节中进行纠错。