一道复变函数习题的解答

​ 设 ρ > 0 \rho>0 ρ>0, a ∈ C a\in C a∈C, ∣ a ∣ ≠ ρ |a|\ne\rho ∣a∣​=ρ,求证:
I = ∮ ∣ z ∣ = ρ ∣ d z ∣ ∣ z − a ∣ 2 = { 2 π ρ ρ 2 − ∣ a ∣ 2 , ∣ a ∣ < ρ 2 π ρ ∣ a ∣ 2 − ρ 2 , ∣ a ∣ > ρ I = \oint_{|z|=\rho}\frac{|dz|}{|z-a|^2}=\left\{ \begin{aligned} \frac{2\pi\rho}{\rho^2-|a|^2},|a|<\rho & \\ \frac{2\pi\rho}{|a|^2-\rho^2},|a|>\rho & \end{aligned} \right. I=∮∣z∣=ρ​∣z−a∣2∣dz∣​=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​ρ2−∣a∣22πρ​,∣a∣<ρ∣a∣2−ρ22πρ​,∣a∣>ρ​​

解答如下三张图所示：

​ 本题的思路是参考了《工程数学-复变函数(第4版)学习辅导与习题选解》(王绵森编,高等教育出版社) P87-89对第33、34、35题的解答。截图如下：