复变函数——学习笔记4：复变函数的积分

复变函数的积分

复变函数的积分
柯西积分定理——积分与路径无关
柯西积分公式
解析函数的无穷可微性
刘维尔定理及代数基本定理
莫雷拉定理

复变函数的积分

复变函数积分的定义和数学分析中的曲线积分的定义很类似。

定义4.1 $L$ 是复平面上的一条可求长曲线，复变函数 $w=f(z)$ 在 $L$ 上有定义， $L$ 的起止点分别为 $z_0,z_0^\prime$ ，从 $z_0$ 到 $z_0^\prime$ 依次取分点 $z_0,z_1,\cdots,z_n=z_0^\prime$ ，称为 $L$ 的一个分划，记为 $\Delta$ ， $z_{i-1}$ 到 $z_i$ 的曲线段记为 $L_i(i=1,\cdots,n)$ ， $\displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}|L_i|$ ，如果存在复数 $I$ ，对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，对任意的分划 $\Delta$ ，只要 $\lambda(\Delta)<\delta$ ，任取 $\xi_i\in L_i(i=1,\cdots,n)$ ，都有 $\left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)(z_k-z_{k-1})-I\right|<\varepsilon$ 则称 $w=f(z)$ 在 $L$ 上可积， $I$ 为 $w=f(z)$ 沿着 $L$ 从 $z_0$ 到 $z_0^\prime$ 的积分，记为 $\displaystyle \int_Lf(z)dz$

现在我们来考察一下以上定义中的和式 $\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta z_k$ 设 $f=u+vi$ ， $\Delta z_k=\Delta x_k+i\Delta y_k$ ，则 $\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta z_k=\sum_{k=1}^n[u(\xi_k)+v(\xi_k)i][\Delta x_k+i\Delta y_k]\\ =&\sum_{k=1}^n[(u(\xi_k)\Delta x_k-v(\xi_k)\Delta y_k)+i(u(\xi_k)\Delta y_k+v(\xi_k)\Delta x_k)] \end{aligned}$ 取极限即可得到 $\int_Lf(z)dz=\int_Ludx-vdy+i\int_Ludy+vdx$ 我们就得到了复积分和曲线积分之间的联系，我们再改写一下以上的等式，为 $\int_Lf(z)dz=\int_L(u+iv)(dx+idy)$ 容易验证形式上 $\int_L(u+iv)(dx+idy)=\int_Ludx-vdy+i\int_Ludy+vdx$ 写成左边的形式就很方便对积分计算公式进行记忆。如果 $L$ 是光滑曲线 $x=z(t)=x(t)+y(t)i,a\le t\le b$ ，由数学分析中曲线积分的计算公式，我们还可以得到 $\int_Lf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z^\prime(t)dt$ 其中 $z^\prime(t)=x^\prime(t)+iy^\prime(t)$ ，这就为我们提供了复积分的参数方程计算方法。下面我们列举复积分的若干性质：

(1) $f(z),g(z)$ 在曲线 $L$ 上可积，则对任意的复数 $\alpha,\beta$ ， $\alpha f(z)+\beta g(z)$ 在 $L$ 上可积，并且 $\int_L[\alpha f(z)+\beta g(z)]dz=\alpha\int_Lf(z)dz+\beta\int_Lg(z)dz$ (2) $L$ 由 $L_1,L_2$ 衔接得到， $f$ 在 $L$ 上可积的充要条件是 $f$ 在 $L_1,L_2$ 上可积，并且 $\int_Lf(z)dz=\int_{L_1}f(z)dz+\int_{L_2}f(z)dz$ (3) $L$ 的起止点为 $z_0,z_0^\prime$ ，记 $z_0^\prime$ 到 $z_0$ 沿着 $L$ 的曲线为 $L^-$ ， $f(z)$ 在 $L$ 上可积，则 $f(z)$ 在 $L^{-}$ 上可积，并且 $\int_Lf(z)dz=-\int_{L^-}f(z)dz$ (4) $f(z)$ 在 $L$ 可积，则 $\left|\int_Lf(z)dz\right|\le\int_L|f(z)|ds$ 其中右边是第一型曲线积分
(5)（积分估值）若沿着曲线 $L$ ，函数 $f(z)$ 连续，且有正数 $M$ 使 $|f(z)|\le M(\forall z\in L)$ ，设 $L$ 其长度为 $|L|$ ，则 $\left|\int_Lf(z)dz\right|\le M|L|$

下面给出一个重要的积分

例5.1 计算 $\displaystyle\int_C\frac{dz}{z-z_0}$ ，其中 $C$ 为以 $|z-z_0|=r$ ，方向取正向

解：
取参数方程 $z=z_0+re^{\theta i}$ ，则 $\frac{dz}{d\theta}=ire^{\theta i}$ ，因此 $\int_C\frac{dz}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{ire^{\theta i}}{re^{\theta i}}d\theta=2\pi i$

柯西积分定理——积分与路径无关

柯西积分定理和柯西积分公式是本章的核心定理，柯西积分定理是有关复积分与路径无关的定理，考察例5.1就知道复积分并不总是与路径无关，柯西积分定理如下：

定理5.1（柯西积分定理） $f(z)$ 在单连通区域 $G$ 上解析，则对 $G$ 内任何逐段光滑的闭曲线 $C$ ，都有 $\int_Cf(z)dz=0$

我们后面再给出柯西积分定理的证明，在给出证明之前，我们先给出柯西积分定理的应用，有了柯西积分定理，我们就可以得出结论，如果 $f(z)$ 在单连通区域 $G$ 上解析，则积分 $\displaystyle\int_Lf(z)dz$ 只与起止点有关，而与积分路径无关，则积分就可以写成 $\int_{z_0}^{z}f(\xi)d\xi$ 其中 $z_0$ 为 $L$ 的起点， $z$ 为 $L$ 的终点。任取 $z_0\in G$ ，我们在 $G$ 内定义函数 $G(z)=\int_{z_0}^zf(\xi)d\xi$ 下面我们将证明 $G(z)$ 是解析的，对于 $z\in G$ ，存在 $\delta>0$ ，使得 $z$ 以 $\delta$ 为半径的邻域 $B(z,\delta)$ 都在 $G$ 内，那么对 $z^\prime\in B(z,\delta)$ ， $z$ 和 $z^\prime$ 间的直线段 $L$ 都在 $G$ 内 $G(z^\prime)-G(z)=\int_Lf(\xi)d\xi$ 取 $L$ 的参数方程为 $z=z(t)=(1-t)z+tz^\prime,0\le t\le 1$ ，则 $G(z^\prime)-G(z)=\Delta z\int_0^1f(z(t))dt$ 设 $f=u+vi$ ，由定积分的积分中值定理，存在 $\xi,\zeta\in(0,1)$ 使得 $\int_0^1u(z(t))dt=u(z(\xi))\\ \int_0^1v(z(t))dt=v(z(\zeta))$ 于是 $G(z^\prime)-G(z)=\Delta z[u(z(\xi))+iv(z(\zeta))]$ 即 $\lim_{\Delta z\to 0}\frac{G(z^\prime)-G(z)}{\Delta z}=u(z)+iv(z)=f(z)$ 这就说明了 $G(z)$ 解析，并且 $G^\prime(z)=f(z)$ ，以上过程如果假设放松为 $f(z)$ 连续，并且 $f(z)$ 在 $G$ 内的积分与路径无关，也是成立的。如果在 $G$ 上的解析函数 $g(z)$ 满足 $g^\prime(z)=0,\forall z\in G$ ，那么， $G(z)$ 为常数（容易证明，这里省略）。那么如果 $f(z)$ 在单连通区域 $G$ 上解析，那么 $f(z)$ 上 $G$ 上任意原函数只相差一个常复数，如果我们找到 $f(z)$ 的一个原函数 $F(z)$ ，则 $F(z)=G(z)+C$ ，那么对 $z_1,z_2\in G$ ，就有 $\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=G(z_2)-G(z_1)=F(z_2)-F(z_1)$ 这就是复数域上的微积分基本定理

例5.2 在单连通区域 $D:-\pi<argz<\pi$ 内，函数 $\ln z$ （主值支）是 $f(z)=\frac{1}{z}$ 的一个原函数，那么 $\int_1^z\frac{1}{\xi}d\xi=\ln z - \ln 1=\ln z$

例5.3 计算复积分 $\displaystyle \int_0^{\pi+2i}\cos\frac{z}{2}dz$

解：
$w=\cos\frac{z}{2}$ 在全平面上解析，其原函数为 $2\sin\frac{z}{2}$ ，则 $\int_0^{\pi+2i}\cos\frac{z}{2}dz=2[\sin\frac{z}{2}]_0^{\pi+2i}=2\sin{(\frac{\pi}{2}+i)}=e+\frac{1}{e}$

下面我们来证明柯西积分定理：观察 $C.-R.$ 方程：
$u_x^\prime=v_y^\prime\\ u_y^\prime=-v_x^\prime$ 假设 $f^\prime(z)$ 是连续的，并且设 $f=u+vi$ ，如果 $C$ 是逐段光滑的简单闭曲线，我们前面推导过 $\int_Cf(z)dz=\int_Cudx-vdy+i\int_Cvdx+udy$ 我们对两个线积分分别采用格林公式 $\int_Cudx-vdy=\int_D -v_x^\prime-u_y^\prime dxdy=0\\ \int_Cvdx+udy=\int_Du_x^\prime-v_y^\prime dxdy=0$ 有 $\int_Cf(z)dz=0$ 这可能是柯西积分定理的灵感来源，但是证明柯西积分定理不能采用格林公式，因为 $f^\prime(z)$ 不一定是连续的（当然，我们后面会证明解析函数是无穷次可微的， $f^\prime(z)$ 是连续的，但是这需要用到柯西积分定理证明的柯西积分公式，如果采用这个结果，就会循环论证）。古尔萨给出了一个不需要用到格林公式的证明，我们先大致阐述一下这个证明的思路：
(1)第一步，证明如果闭曲线 $C$ 是一个包含在 $G$ 内的三角形区域的边界，柯西积分定理成立
(2)第二步，对于任何包含在 $G$ 内的多边形，我们将多边形分解成若干三角形之并，添加的连线在不同的三角形边界线积分计算中，方向相反，因而正负相消，最后只剩下多边形的边界，从而证明多边形也满足柯西积分定理（见下图：将多边形分解为三角形之并）
(3)对任意的闭曲线，用一个闭折线逼近这个积分，由于任意的闭折线的积分都为0，而沿着这条闭曲线的积分可以任意接近0，就证得了闭曲线的积分为0
复变函数——学习笔记4：复变函数的积分
我们先来完成第一步：如果三角形闭区域 $\Delta$ 包含在 $G$ 内，我们取三条边的中点，连接三个中点，得到四个全等的三角形 $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4$ ，这里的 $\Delta$ 表示三角形区域的圆周， $\Delta,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4$ 均取正向。
复变函数——学习笔记4：复变函数的积分
可以看到添加的连线积分方向恰好相反，正负相消，就得到 $\int_\Delta f(z)dz=\int_{\Delta_1}f(z)dz+\int_{\Delta_2}f(z)dz+\int_{\Delta_3}f(z)dz+\int_{\Delta_4}f(z)dz$ 设 $\left|\int_\Delta f(z)dz\right|=M$ 我们来证明 $M=0$ ，那么必定存在 $i_1=1,2,3或4$ ，满足 $\left|\int_{\Delta_{i_1}}f(z)dz\right|\ge\frac{M}{4}$ 我们记这个三角形为 $D^1_{i_1}$ ，对于 $D^1_{i_1}$ 我们也用同样的办法，连接三边中点将其分为四个全等三角形 $\Delta^1_2,\Delta_2^2,\Delta_3^2,\Delta_4^2$ ，则存在 $i_2=1,2,3或4$ ，有 $\left|\int_{\Delta_{i_2}^2}f(z)dz\right|\ge\frac{M}{16}$ $\Delta_{i_2}^2$ 与 $\Delta_{i_1}^1$ 相似，周长为其 $\frac{1}{2}$ 且包含在其内，对 $\Delta_{i_2}^2$ 也作同样的操作，得到一个完全包含在 $\Delta_{i_2}^2$ 内相似与 $\Delta_{i_2}^2$ 的三角形 $\Delta_{i_3}^3$ ，满足 $\left|\int_{\Delta_{i_3}^3}f(z)dz\right|\ge\frac{M}{64}$ 其周长为 $\Delta_{i_2}^2$ 的 $\frac{1}{2}$ ，以此类推。得到一个三角形序列 $\{\Delta_{i_n}^n\}$ ，作为区域时 $\Delta_{i_n}^n\subset \Delta_{i_{n-1}}^{n-1}$ ，周长为 $\Delta_{i_{n-1}}^{n-1}$ 的 $\frac{1}{2}$ ，因此其周长为 $\frac{L}{2^n}$ ，其中 $L$ 为 $\Delta$ 的周长，并且 $\left|\int_{\Delta_{i_n}^n}f(z)dz\right|\ge \frac{M}{4^n}$ 记 $\Delta_{i_n}^{n}=\Delta_n$ ，有 $\int_{\Delta_n}dz=0$ 这是因为 $\Delta_n$ 是闭曲线，由复积分的定义就可以直接验证，其次 $\int_{\Delta_n}zdz=\int_{\Delta_n}xdx-ydy+i\int_{\Delta_n}xdy+ydx$ 用格林公式即可验证 $\displaystyle\int_{\Delta_n}zdz=0$ ，实际上， $\{\Delta_n\}$ 构成一个闭区间套，存在一点 $z_0$ ，属于所有 $\Delta_n$ （此时作为区域而不是周线），由于 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可微，对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $|z-z_0|<\delta$ 时 $\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f^\prime(z_0)\right|<\varepsilon$ 即 $|f(z)-f(z_0)-f^\prime(z_0)(z-z_0)|<\varepsilon|z-z_0|$ 存在 $n_0$ ， $n\ge n_0$ 时，三角形 $\Delta_n$ ，完全包含在 $z_0$ 的邻域内，有 $\int_{\Delta_{n}}f(z)dz=\int_{\Delta_{n}}[f(z)-f(z_0)-f^(z_0)(z-z_0)]dz$ 此时 $\left|\int_{\Delta_{n}}f(z)dz\right|\le \frac{\varepsilon L^2}{4^n}$ 故 $M<\varepsilon L^2$ 由 $\varepsilon$ 的任意性， $M=0$
于是容易证明：任意包含在 $G$ 内的闭折线 $C$ ，都有 $\int_Cf(z)dz$ 因此，我们对于一般的曲线，我们只要用一条闭折线取代之即可。那么如何取代呢？取代的合理性又在哪？我们可以仿照数学分析中证明积分与路径无关的条件时采取的手段，引入星形区域：如果区域 $G$ 内存在一点 $z_0$ ， $\forall z\in G$ ，直线段 $z_0z$ 整个包含在 $G$ 内，如果 $f(z)$ 在 $G$ 内解析，引入函数 $F(z)=\int_{z_0z}f(\xi)d\xi$ 其中积分路径是 $z_0$ 到 $z$ 的直线段，存在 $\delta>0$ ，当 $\Delta z<\delta$ 时， $z$ 到 $z+\Delta z$ 的直线段包含在 $G$ 内，则以 $z_0,z,z+\Delta z$ 为三条边的三角形包含在 $G$ 内 $F(z+\Delta z)-F(z)=\int_{z}^{z+\Delta z}f(\xi)d\xi$ 类似于前面的证明方法，我们可以知道 $F(z)$ 是 $f(z)$ 在 $G$ 内的原函数。在数学分析中，我们知道原函数存在是线积分与路径无关的充要条件，在复变函数中也是如此。其证法和数学分析也是类似的。即假设 $L:z=z(t)$ 是光滑的，我们可以起止点为 $z_1,z_2$ ，那么就有 $\int_{L}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$ 对逐段光滑曲线分段讨论即可，于是，只要 $L$ 是逐段光滑的，起止点为 $z_1,z_2$ ，就有微积分基本定理成立 $\int_{L}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$ 因此在星形区域内积分与路径无关，开邻域一定是星形区域。对于任意的闭曲线 $C$ ， $C$ 的起止点都为为 $a$ ， $C$ 与 $D^c$ 有一段正距离 $\delta>0$ ，对 $C$ 作划分 $\Delta:a=z_0<z_1<\cdots<z_n=b$ ，只要每个小曲段的直径小于 $\frac{\delta}{2}$ ，那么整个曲段 $z_{i-1}z_i$ 都在 $z_{i-1}$ 的 $\frac{\delta}{2}$ 邻域内，直线段 $z_{i-1}z_i$ 都在 $z_{i-1}$ 的 $\frac{\delta}{2}$ 邻域内，从而该段曲线上的积分可由直线段积分替换，故存在包含在 $G$ 内的闭折线 $C^\prime$ ，满足 $\int_{C}f(z)dz=\int_{C^\prime}f(z)dz$ 而 $\displaystyle \int_{C^\prime}f(z)dz=0$ ，这就证得了柯西积分定理。

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