矩阵在图形变换中的应用

让每个点的横坐标扩大a倍，纵坐标扩大b倍

1. 让每个点关于x轴翻转。
   
   需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (x , -y)
   由(x , y)得，T需要为两列，
   由(x , -y)得，T需要为两行。

==>

==>

因为 ax + by = x
cx + dy = -y

==>

==>

得到了一个变换矩阵，这个矩阵可以让图像中的每一个点都进行关于x轴翻转。

2. 让每个点关于y轴翻转。
   

需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (-x , y)
同理可得
==>

==>

3. 让每个点都关于原点翻转（x,y轴均翻转）。
   

需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (-x , -y)
同理可得
==>

==>

结合以上2点，让x轴进行翻转为Tx，让y轴进行翻转为Ty。
则让每个点关于原点翻转 ==>

4. 沿x方向错切。
   

在错切变换中，其实y轴的坐标是没有变化的，在y轴上坐标的x值发生了变化，让这个变化的x值与y坐标成一定的比率a。
需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (x+ay , y)
同理可得
==>

==>

5. 沿y方向错切。
   需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (x , bx+y)
   同理可得
   ==>

==>

6. 旋转
   同样需要找到一个矩阵T ==> T . (x , y) = (？ ， ？) 难点在于终点坐标。

假设在一个二维坐标系中，一个点的坐标为（x,y），将这个坐标沿顺时针方向旋转θ角后得到了新的坐标（x’,y’）。
假设原点坐标（x,y）与x轴夹角为ɑ，该坐标向量的模为d。
==>

其实，在旋转后，从原点到坐标的长度是不变的，即两个向量的模不变都为d
==>

综上所述，可以联立两个等式，从而用 x 表示 x’。
==>

两个角的差的余弦公式、正选公式拓展开。
==>

综上所述，矩阵T . (x , y)就等于
==>

T就等于
==>

验证
==>

在图形学中，矩阵的变换拓展还有很多。

例如在三维坐标中的变换应用。

平移操作 ==> 仿射变换