参考资料：中国大学MOOC 山东大学 秦静教授讲解

一、几种特殊的矩阵

只有方阵才有主对角线

二、矩阵的运算

三、方阵的行列式

四、伴随矩阵

注意，上面写伴随矩阵时代数余子式的顺序，例如A21,写在了第一行第二列，而不是第二行第一列。

对于上述的二阶矩阵，主对角线元素交换，副对角线元素添加负号。
再来看下面的这几个练习，就一眼看出答案了：



上述说明：第j行的元素与第i行元素的余子式乘积之和等于0.
上述结果怎么证明呢？之前在将行列式的时候已经证明过了，现在再回顾一下：
它的证明过程中利用了行列式的一个性质：若行列式中的两行完全相同，则行列式的值为0

上面的证明如果实在理解不了，就记住结论先。

五、初等变换

记住，上述的初等变换后，矩阵不再和之前的相等了，而是等价。















看下面的矩阵的秩。

六、矩阵的秩

上面的iv经常用得到。

上面的方法求秩比较麻烦。








上面的比较简单，所以没有用初等变换了。


注意，上面的矩阵是方阵。
上述常用的结论：矩阵A满秩，则A的标准形为同阶单位阵E
下面是简要的证明：

七、初等矩阵

初等矩阵要点：单位阵、一次变换








P1：r3-r1
P2：交换r2和r3
P3：r3-r1




证明上述结论：A是满秩的，A就可以写成一系列初等矩阵的乘积。

E是A的同阶单位阵
A是满秩的，所以A和单位矩阵等价（通俗来讲就是A可以化为单位矩阵）。
A=P1 P2…P(i) E P(i+1) … P(n) 其中P(n)全部为单位矩阵。（这个是化为单位矩阵需要左乘或右乘的过程）
所以：A=P1 P2…P(i) P(i+1) … P(n)

如果A可以由一系列初等矩阵的乘积表示，A是满秩的。证明：
A=P1 P2…P(i) P(i+1) … P(n)
A=P1 P2…P(i) P(i+1) … P(n) E
所以A和单位阵E等价（A通过初等变化化为B，则A和B等价），所以A是满秩的。

下面的图和上述证明是一样的：

上面的四个结论会经常用到。

推论2的证明：
矩阵A化成矩阵B，左乘初等矩阵P1P2Ps,右乘初等矩阵Q1Q2Qt，将左乘的初等矩阵为Pm,右乘的一系列初等矩阵的值为Qn，由于初等矩阵的结果是满秩的，所以Pm和Qn是满秩矩阵。

对矩阵做初等变换，不会改变矩阵的秩，所以R(A)=R(PA)=R(PAQ)=R(AQ)
上面的结论也很常用

八、逆矩阵

AA(-1) =E,将上面的E用左边的式子代入。

九、逆矩阵的性质与求解

上面说明：
对A进行行变换的同时，对E进行行变换。当A的行变换变成E时，那么，同时对E的行变换就变成了A的逆。所以构造了(A:E)这样的行列式，同时进行变换。当A变换成E时，那么对E进行的行变换就变成了A的逆。
可能我说的不太明白，上述不太容易理解。

十、分块矩阵

十一、矩阵方程

感叹：前面章节的知识理解了，再看这些，真的很简单呀！

十二、习题课