HSI去噪论文解读之二

题目：
A NOISE-ADJUSTED ITERATIVE RANDOMIZED SINGULAR VALUE DECOMPOSITION METHOD FOR HYPERSPECTRAL IMAGE DENOISING
作者：
Wei He,Hongyan Zhang,Liangpei Zhang,Huanfeng Shen
关键词：
hyperspectral image,denoising,low rank,NAIRSVD,PCA
解决问题：
对高光谱图像(HSI)进行去噪处理，在对高光谱图像使用字典排序降维后的二维矩阵采用随机奇异值分解(RSVD)算法进行求解，并且针对传统的主成分分析(PCA)算法无法较好的处理不同波段的噪声不同的问题，引入噪声自适应算法(NA)。从而实现提高了除噪能力。
模型：
1.传统的PCA模型：
被观察的高光谱图像为：Y (M×N×p)
模型为： Y = X+N
其中，X为无噪图像，Y代表高斯噪声
并且,W = diag(σ^2 , σ ^2 ,σ ^2 )表示噪声矩阵的协方差，σ表示每个波段噪声的标准差。
所以我们可以使用传统PCA模型来实现除噪：

由于PCA模型只能处理方阵，在这篇论文中，适应任意矩阵的RSVD算法：

2.NAIRSVD模型：
由于MN>>p，RSVD可能会导致图像的模糊和丢失细节信息，所以我们将待处理图像分割成20×20×p的小块进行处理，处理完成后再重新合成。
为了更好的分离噪声，将噪声自适应迭代正则化的方法应用到RSVD中来。其中迭代正则化的模型为：
其中k代表迭代次数，δ代表松弛系数[0,1],u^k表示第k次迭代的输入图像,f^k表示经过RSVD处理的u^k输出图像。这对于噪声均匀分布的图像来说会有很显著的提升，但是事实并非如此。因此我们对模型进行改进：

以此，我们引入了噪声的自适应方法δi，这是基于每个波段的噪声方差的：

其中，W(i,i)表示的是于是噪声图像第i个波段的噪声方差；c为常数。下面给出相应算法：

这里只用噪声方差W和秩上限r这两个参数需要我们考虑，下面给出参数的确定的方法。

参数:
在这篇论文中，给出了参数自适应确定的方法。首先提出了噪声的评估方法，在完成噪声评估后再给出确定秩的方法。噪声的评估方法是采用了基于多元回归理论的方法：
1.噪声评估：
首先：定义：
这是一个大小为MN×(p-1)的矩阵，其中每个元素都看作是其他(p-1)波段的线性组合：

回归向量β的尺寸为(p-1)×1，噪声向量ξi的尺寸为MN×1.
其中：回归向量的最小二乘估计为：
所以，噪声可以求得：

由上述，噪声矩阵为：
噪声的协方差矩阵为：

2.秩：
首先对Y和N分别使用SVD得到它们的奇异值，分别为：

则选取秩r的上限标准为：σr ≥ S1 且 σr+1 <S1 。

注：
想要较好的理解这篇论文，需要理解一下算法：
1.PCA:一篇讲的很详细的知乎文章
2.SVD:一篇讲的很详细的知乎文章
3.IR
4.多元线性回归