HSI去噪论文解读分享之三
题目：
Hyperspectral Image Denosing via Spectal Weight Low-rank Matrix Approximation
作者：
Lu Liu,Hongyan Zhang,Liangpei Zhang
关键词：
remote sensing;hyperspectal image denosing;spectral weighted matrix;low-rank matrix approximation;weight nuclear norm;alternating direction method of multipliers
解决问题：
由于高光谱遥感影像的噪声类型复杂多样，且在不同波段的噪声强度也并不相同。在上一篇论文的分享中提到了使用自适应算法来处理不同波段上的噪声，这里针对相同的问题提出了利用加权矩阵的解决办法。
解决思路：
通过引入光谱权重矩阵，对光谱加权低秩矩阵进行分解以达到高光谱遥感影像混合噪声的去除。为进一步分离噪声，采用加权核范数最小化来约束纯净高光谱影像的局部低秩结构。最后采用交替方向乘子法求解。
模型：
1、高光谱影像去噪基本模型：
对于高光谱遥感影像噪声多为混合噪声的原因，我们一般根据不同噪声的密度分布情况，将噪声分为两个部分：高斯噪声和稀疏噪声。所以对高光谱噪声退化影像的建模如下：
式中，Y为观测影像尺寸为MNxB的列化矩阵，X为纯净影像矩阵MNxB,S和N代表稀疏噪声和高斯噪声矩阵。
2、高光谱矩阵的低秩先验模型：
根据高光谱遥感的线性混合模型，高光谱中的每个像素可以表示为几个端元的线性组合。所以我们可以对纯净影像X进行如下分解：
X=UV
其中， V=rxB代表端元矩阵，U=MNxr代表丰度矩阵。r代表了端元的数量，并且r<<B,这也是X为低秩矩阵的关键原因。
3、低秩矩阵模型：
数学上，低秩矩阵的分解问题表示为：
由于上式为NP-hard问题，所以可以利用凸松弛思想分别用核范数和L1范数代替秩函数和L0范数。
模型转换为：
式中，核范数定义为矩阵奇异值的总和。
该模型下求解存在问题：
不能根据噪声的实际分布来去除噪声，导致遥感图像的原有信息的丢失，即这种去噪方法是“线性”。
本文模型：
纯净影像X的最大后验估计为 （式1）：
式中，对数似然项ln(Y-S|X)表示高斯噪声的统计特性。
通过引入正则化参数deta表征稀疏噪声的比重，稀疏噪声lnP(S)可以表示为L1的范数先验（式2）：
P(X)代表了X的先验信息。由于加权核范数根据奇异值的重要性对其进行不同程度的阈值收缩，因此选择加权核范数为P(X)的先验信息（式3）：
其中lambda表示正则化参数。加权核范数具体可以表示为（式4）：
其中奇异值的权重w>=0与奇异值成负相关。
将式2~3带入式1得到光谱加权低秩分解模型：
式中，W表示光谱域的噪声权重矩阵，权重矩阵是对角矩阵且其对角线由每个波段的噪声标准差确定。
模型求解：
模型采用交替乘子法求解，通过引入增广变量，将所提模型重新表述为线性等式约束问题：
利用原对偶方法以及对约束项加入惩罚项构成增广拉格朗日函数：
接下来进行交替迭代求解各个参数即可。