OSPF协议之Dijkstra最短路算法

原理描述

本章将会介绍OSPF协议中常常提到的SPF算法。这个SPF算法具体来说就是Dijkstra最短路算法。最短路算法指的是一个点到其余各个顶点的最短路径，也叫作“单源最短路径”。

在这里使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下：

我们还需要一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程：

dis	1	2	3	4	5	6
	0	1	12	∞	∞	∞

此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

根据Dijkstra最短路算法的目的与结合本章举出的具体例子，首先求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号最近的是2号顶点。因此dis[2]就从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是dis[2]的值。因为目前离1号最近的是2号，并且这个图所有的边都是正数，那么不可能通过第三个顶点中转而使得1号到2号的路程进一步缩短。

选择2号顶点后，观察2号顶点可以到达哪些顶点。观察得到2号顶点可以通过2->3、2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号到3号顶点的路程变短。具体表达式表示为比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号到3号顶点的路程。dis[2]表示1号到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边的开销。所以dis[2]+e[2][3]表示从1号到2号顶点，再从2->3这条边到达3号顶点的路程。

通过二维数组得知，dis[3]=12，dis[2] + e[2][3]=1+9=10,dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10.这个过程叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。因此Dijkstra算法的主要思想就是通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过2->4,可以将dis[4]的值从∞松弛为4(dis[4]初始为∞,dis[2]+e[2][4]=1+3=4,dis[4]>dis[2]+e[2][4]),因此dis[4]要更新为4。

通过对2号顶点所有的出边进行了松弛，松弛完毕之后的dis数组为：

dis	1	2	3	4	5	6
	0	1	10	4	∞	∞

紧接着需要在剩下的3、4、5和6号顶点中选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新后的dis数组，当前离1号顶点最近的是4号顶点。dis[4]已经由“估计值”变为了确定值。因此对4号顶点所有出边(4->3,4->5,4->6)用同样的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

dis	1	2	3	4	5	6
	0	1	8	4	17	19

继续在剩下的3、5、6号顶点中选出离1号最近的顶点。本次选择3号顶点，此时dis[3]的值已经从“估计值”变成了“确定值”。对3号顶点的所有出边(3->5)进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

dis	1	2	3	4	5	6
	0	1	8	4	13	19

继续再剩下的5号和6号定点中，选出离1号最近的顶点。本次选择5号，此时dis[5]的值从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边(5->4)进行松弛。松弛完毕后dis数组为：

dis	1	2	3	4	5	6
	0	1	8	4	13	17

最后对6号顶点出边进行松弛。本例中6号顶点没有出边，因此不用处理。至此，dis数组中所有的值都从估计值变成了确定值。

总结

Dijkstra算法基本思想就是每次找到距离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩散，最后得到源点到其余所有点的最短路径。

1. 将所有顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。开始，集合P中只有源点一个顶点。我们用book[i]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[i]=1，则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]=0则表示这个顶点在集合Q中。
2. 设置源点s到自己的最短路径为0，即dis=0，若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[i]设置为e[s][i]。同时把所有其他(源点不能直接到达的)顶点的最短路径设为∞。
3. 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u(即dis[u]最小)加入到集合P中。并考察所有以点u为起点的出边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代dis[v]中的值，否则忽略。
4. 重复step3，如果集合Q为空，则算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

算法实现

代码部分后续会补充