ALS（Alternating Least Squares）

ALS（Alternating Least Squares）算法是基于矩阵分解的协同过滤算法中的一种，它已经集成到 Spark 的 Mllib 库中，使用起来比较方便。

1.矩阵分解
这里的矩阵分解可以理解为，将一个 m×n 的矩阵A分解为一个m×k的矩阵U和n×k的矩阵V的转置的乘积的近似值，即
                   

将这个公式放到推荐系统中，则  表示用户对产品的偏好评分矩阵， 代表用户对隐含特征的偏好矩阵， 表示产品所包含的隐含特征矩阵。
为了使矩阵 U 和 V 转置的乘积尽可能接近 A，我们使用用户喜好特征矩阵 U(m∗k) 中的第 i 个用户的特征向量  ,和产品特征矩阵V(n∗k)第j个产品的特征向量  预测打分矩阵 A(m∗n) 中的  ,需要最小化平方误差损失函数：
                  

有了损失函数之后，下面就开始介绍优化方法。通常的优化方法分为两种：交叉最小二乘法（alternative least squares）和随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。

2.交替最小二乘法(ALS)
在开始的时候，随机初始化一个  的值，因此上式就变成了一个关于  的函数，问题转化为最小二乘问题，用最小二乘法求 的最优解：

               
其迭代步骤是：首先随机初始化 ，利用上述方法更新得到 ，然后利用  的表达式更新 ，直到RMSE（均方根误差）变化很小或者到达最大迭代次数为止。