ALS（Alternating Least Squares）

ALS（Alternating Least Squares）算法是基于矩阵分解的协同过滤算法中的一种，它已经集成到Spark的Mllib库中，使用起来比较方便。

1.矩阵分解

这里的矩阵分解可以理解为，将一个m×n的矩阵A分解为一个m×k的矩阵U和n×k的矩阵V的转置的乘积的近似值，即

A_{m \times n} \approx U_{m \times k} \times V_{n \times k}^{T}

将这个公式放到推荐系统中，则

A_{m \times n}

表示用户对产品的偏好评分矩阵，

U_{m \times k}

代表用户对隐含特征的偏好矩阵，

V_{n \times k}

表示产品所包含的隐含特征矩阵。
为了使矩阵U和V转置的乘积尽可能接近A，我们使用用户喜好特征矩阵U(m∗k)中的第i个用户的特征向量

u_{i}

,和产品特征矩阵V(n∗k)第j个产品的特征向量

v_{j}

预测打分矩阵A(m∗n)中的

a_{i j}

,需要最小化平方误差损失函数：

C = \sum_{i, j \in R} [(a_{i j} - u_{i} v_{j}^{T})^{2} + λ (u_{i}^{2} + v_{j}^{2})]

有了损失函数之后，下面就开始介绍优化方法。通常的优化方法分为两种：交叉最小二乘法（alternative least squares）和随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。

在开始的时候，随机初始化一个 $u_{i}$ 的值，因此上式就变成了一个关于 $v_{j}$ 的函数，问题转化为最小二乘问题，用最小二乘法求 $v_{j}$ 的最优解：
ALS（Alternating Least Squares）

其迭代步骤是：首先随机初始化 $u_{i}$ ，利用上述方法更新得到 $v_{j}$ ，然后利用 $u_{i}$ 的表达式更新 $u_{i}$ ，直到RMSE（均方根误差）变化很小或者到达最大迭代次数为止。