无法理解高等数学怎么办？

我们学高等数学的时1候是这样的：

这当然学不懂了，跨度太大了。这个锅，教材（对，说的就是同济《高等数学》）肯定得背。

1 应该怎么学习？

学习应该循序渐进，意思就是，应该从已有的知识出发，保持足够小的步伐前进。

让我们把已有的知识称作  ，足够小的步伐称为  ，那么：

才是最有效的学习方法。

比如：

注意：什么是  是比较主观的问题。

下面我尝试用  的方法，解释下高等数学的最基础的概念，“极限”。

2 极限

我们先来看看，《高等数学》同济版是怎样用“极限”来欢迎新生的：

设函数  在点  的某一去心邻域内有定义，如果存在常数  ，对于任意给定的正数  （不论它多么小），总存在正数  ，使得当  满足不等式  时，对应的函数值  都满足不等式  ，那么常数  就叫做函数  当  时的极限，记作  或  （当  ）。

同济大学《高等数学》第七版

我就问问你，那个高考结束没有多久、刚刚过了一个愉快的暑假、背井离乡、来到一个陌生的地方、开始新的学习生活的你，看到这个定义怕不怕？

我是很怕，因为：

我觉得：

下面的讲解就以你有高考数学的平均水平作为  。

2.1 积分的历史背景

17世纪，当时很重要的问题是天文学问题，其中，开普勒三定律中的第二定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的：

既然有计算不规则曲线面积的需求，那么数学家就得去研究，所谓积分就是求曲线下的面积（17世纪，英文中积分“quadrature"的含义就是求面积的意思）：

2.2 积分的思想

为了计算这个面积（此处并不严格，必须是任意的分法，而不光是等分）：

你可以自己动手试试：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

2.3 积分的精确定义

好了，积分的思想已经清楚了，为了计算，我们得用数学把积分的精确定义给弄出来。

我们先来看看这个积分是怎么计算的：

通过上面的描述，我们可以认为，曲线下面积  。

那么下一个问题是如何让  变为  ？根据之前的描述，我们发现  越小（即  越大），那么所有矩形的面积和与曲线下的面积越接近。

当  无限接近于0，  。

问题就变成了怎么定义  无限接近于0，在这时我们就遇到了真正的困难：

•  无限接近于0，但不能为0， 否则以0为底边长的矩形面积为0，无穷多个0相加仍然为0

•  无限接近于0，又必须最接近0， 不可能有什么数比  更接近于0

•  无限接近于0，还不可能为最小的正实数，因为没有最小的正实数（为什么？参看这个答案）

 无限接近于0，换成极限的话就是  （严格来说，此处按照《同济大学》的定义，应该使用  时的极限定义，不过差别也不是太大），我们通过它来看看极限的精确定义：

至此，数学家们，终于通过这种别扭的、但又非常精确的语言，定义了什么是“极限”。

通过极限，我们终于可以完成积分的定义了，即  。

3 继续 

微积分的知识还很多，我们可以继续保持  地推下去。

我们大概明白了，为什么要发明极限，以及极限要解决的问题。要进一步了解细节，可以参看下我的另外两个答案如何能更好的理解（ε-δ）语言极限的定义？，以及请问如何理解极限的精确定义？

通过极限我们也定义了什么是无穷小量（可以参看无穷小量是什么？这个答案）。

我好像还没有提到微分， 我们称之为差分，但是积分里面也可以称为微分  ，可以参看这个答案微分和导数的关系是什么？现在我们可以说微积分了。

我们看到积分的定义是  ，因为  ，所以积分可以看作无穷小量的级数。

无穷小量不光可以像上面那么分成矩形，像这么分也可以：

这样也可以用积分来处理。只要能够找出无穷小量，都可以通过积分来进行运算，所以微积分又称为“无穷小分析”。

物理里面就是这么干的，要是知道汽车的瞬时速度（瞬时速度中的瞬时就是无穷小量），那么我就可以通过对时间积分，就可以算出汽车在一定时间内走过的里程数（位移）。

要是不拦着我，我还可以继续说下去，比如连续啊、可积的条件啊、积分中值定理啊、blablabla。

最新版本在（可能不定时更新）：无法理解高等数学怎么办？