欧拉角、旋转矩阵、四元数、万向死锁

描述一个三维物体方向的变化，可以用欧拉角来表示，参考https://www.cnblogs.com/flyinggod/p/8144100.html

欧拉角有两种： 
静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静止，所以称为静态。 
动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。 
使用动态欧拉角会出现万向锁现象；静态欧拉角不存在万向锁的问题。

旋转矩阵：

• 对于两个三维点 p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，由点 p1 经过旋转矩阵 R 旋转到 p2，则有

 

注：旋转矩阵为正交矩阵R·R^T=E，其中R^T是R的转置

以上三种旋转变化，都是针对固定于自身的坐标系来说的，如果一个物体先绕自己的X转、再绕自己的Y转，最后绕自己的Z转，旋转后的坐标P2与P1的关系就是：，需要注意的是，矩阵的点乘运算极大多数情况下并不满足交换律，也即：A·B≠B·A

也即，例如：

 

     而如果绕y轴旋转不等于90°（1°也好89°也好），只要选择适当的绕x和z的角度，就可以让手机指向三维空间中的任何一个方向，手机是自由的，也就不会遇到万向锁现象。

 

 

三维旋转中的万向死锁

现象描述：在描述前，先做几个定义，绕X转称为偏航、绕Y转称为俯仰、绕Z转称为滚转，上述三个轴指的是固定于飞机上的坐标轴。初始t0时，飞机水平飞行中，我们把此刻飞机的姿态（θx, θy, θz）定义为（0，0，0），接下来t1时刻，飞机依次分别绕自己的三个轴XYZ转过了一定角度，假设为（30，80，-40），这个坐标就称为t1时刻飞机的姿态（相对于t0时刻的姿态），飞机继续做特技，t2时刻其姿态角为（30，90，-40），这个姿态也是相对于t0时刻的姿态。

在t0到t1的这段时间内，飞机是均匀的从s1姿态变为s2姿态的的，t1到t2时间段内也是均匀变化的。如果飞机从s3姿态变为s2姿态，也是可以均匀变化的。

按照t1到t2均匀变化的情况，在t2-Δt这一时刻（Δt无限小），飞机的姿态s_3肯定=（30，90-Δθ，-40），其中Δθ为一个无限小的角度。

下面再看另一种飞行过程，只给出3个关键帧：s1‘=（0，0，0），s2’=（70，80，0），s3‘=（70，90，0）

那么在t2’-Δt这一时刻（Δt无限小），飞机的姿态s_3‘肯定=（70，90-Δθ，0），其中Δθ为一个无限小的角度。

我们要注意的是，s3姿态和s3’姿态，其实是同一个姿态，这是因为把Y转动90度以后的Z轴，和Y转动90度以前的X轴，是平行的或者说共线的，也即，绕Z的旋转，可以用绕X的反旋转来代替，也即当a-b=c-d时，姿态（a,90,b）和姿态（c,90,d）就是同一个姿态。

这时问题来了，看下面这种姿态变化情况

s3和s3’其实是同一个姿势，那么s_3 ----- s3-------s3' ---------s_3'，就简化为s_3 ----- s3 ---------s_3'，s_3和s3几乎是同一个姿态，再次简略一下，上图的4次姿态变化，其实就是s_3 ------s_3'。

也即，飞机要在2*Δt的时间段内（Δt无限小），把姿态由（30，90-Δθ，-40）变为（70，90-Δθ，0），可以看到，绕X和绕Z的角度必须要突变才能完成这个动作