时间复杂度与空间复杂度学习笔记
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为什么进行时间复杂度分析？
因为事后统计法有缺陷：①测速结果依赖测试环境②测试结果受数据规模的影响很大
需要一个不用具体的测试数据来进行粗略估计的方法。
大O复杂度表示法
T(n) =O(f(n))
T(n)表示代码执行的时间，
n表示数据规模的大小，
f(n)表示每行代码执行的次数总和。
公式中的O表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。
大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。
时间复杂度分析
1、只关注循环执行次数最多的一段代码
大O复杂度表示的是一种变化趋势，在计算的时候会忽略常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就好了。
我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。
2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度
T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).
3、乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
几种常见的时间复杂度实例分析
可分为：多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n)和O(n!)。
把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。
1、O(1)
O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。
一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
2、O(logn)、O(nlogn)
不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为O(logn);
对数之间是可以互相转换的，log3n就等于log32 * log2n，所以O(log3n) = O(C * log2n)，其中C=log32是一个常量。在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)。
3、 O(m+n)、O(m*n)
代码的复杂度由两个数据的规模来决定。
m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是O(m+n)。
空间复杂度
空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
我们常见的空间复杂度就是O(1)、O(n)、O(n2 )，像O(logn)、O(nlogn)这样的对数阶复杂度平时都用不到
均摊时间复杂度
在数组中插入数据的这个例子。每一次O(n)的插入操作，都会跟着n-1次O(1)的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的n-1次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是O(1)。这就是均摊分析的大致思路。
对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度。
最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）。