Bézier 曲线曲面

Bézier 方法是法国雷工程师 Bézier 首次提出的下面简单介绍 Bézier 曲线、曲面。该曲线是于 1962年提出的一种以逼近为基础的曲线，通过Bernstein 多项式得到。随着曲线和曲面研究的发展和深入，人们又提出了许多类似于Bézier 曲线的曲线。

Bézier 曲线的定义

一条 n 次 Bézier 曲线可以表示成下面的形式
$C(u)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(u)P_{i},0\leq u\leq 1$C(u)=i=0∑n​Bi,n​(u)Pi​,0≤u≤1
其中，基函数$B_{i,n}(u)$Bi,n​(u) 是n 次 Bernstein 多项式。其定义为，$B_{i,n}(u=C_n^iu^i(1-t)^{n-i}),i=0,1,2,3……n$Bi,n​(u=Cni​ui(1−t)n−i),i=0,1,2,3……n。
第一哥狮子中的系数$P_i$Pi​称为控制顶点。由控制顶点之间的顺次连线组成的多边形我们成为控制多边形。

通过表达式给出 n 的为 2、 3、6 时候的 Bézier曲线图形，见并归纳出一些性质。

• 性质 1.控制多边形逼近于曲线的形状；
• 性质 2.曲线的首末端点与控制多边形的首末顶点重合，即 $P(0) = P_0 P(1) = P_n $；这里 $P(0)$P(0)，$P(1)$P(1) 分别是曲线的首末端点，$P_0$P0​，$P_n$Pn​分别是控制多边形的首末端点；
• 性质 3.首末端点处的切线分别平行与控制多边形的首尾两边。即平行 $P_1- P_0和 P_n -P_{n-1} $
• 性质 4. 凸包性：这些曲线包含在定义它们的控制顶点的凸包内；
• 性质 5．变差缩减性：任意直线和曲线的交点个数不多于它和曲线的控制多边形的交点个数（对于三维 Bézier 曲线，需要将上述的语句中的直线换成平面）。这表明 Bézier 曲线大体沿着它的控制多边形前进，不会比它的控制多边形更拐来拐去；
• 性质 6. Bézier 曲线在通常的变换下（平移、旋转、缩放）下具有几何不变性。即要对 Bézier 曲线进行上述变换，只需要对其各个控制点进行变换。

Bézier 曲面的定义

非有理 Bézier 曲面可由两个方向的控制点网格和一元 Bernstein
多项式的乘积来定义 $n× m$n×m 次 Bézier 曲面如下

和曲线的情形类似，由于 Bézier 曲面具有很多优良的性质，因而和幂基曲面比起来更适合在几何造型的应用，Bézier 曲面和它的基函数具有下面几点性质；

• 性质 1. 非负性；
• 性质 2. 规范性
• 性质 3. 凸包性：
• 性质 4. 几何不变性和仿射不变性。
• 性质 5．端点插值性：曲面插值于控制网格的 4 个顶点。
• 性质 6. 逼近性：将控制顶点网格三角化后，得到曲面的一个平面多边形的逼近。