高等代数—行列式

声明： 本篇文章内容主要对《高等代数》第三版第二章内容的总结，复习

引言

线性方程组： 多元一次方程组

注意：数学归纳法中第一数学归纳法和第二数学归纳法需要熟练掌握，以后大部分的证明和推论都是由这两种方法结合反证法得来的。

排列

定义1： 由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。
注意： 我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列,一般地也称为n级排列。
对于n个数组成的有序数组，n级排列的总数有n!个。

定义2： 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

定义3： 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。
对换： 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。

定理1： 对换改变排列的奇偶性。
证明：可由相邻的两个数的对换推广到一系列不相邻的数的对换。

推论 在全部n级排列中,奇、偶排列的个数相等,各有n!/2个。
证明：可由反正法得出

定理2： 任意一个n级排列与排列12…n都可以经过一系列对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
证明：可由数学归纳法得出

n级行列式

注意： 对于行列式而言，行的地位和列的地位是相同的，所有的适合于行的性质对于列也是同样的适应。

主对角线： 从左上角到右下角这条对角线。
对角形行列式： 主对角线以外的元素全为零的行列式。

注意： 接下来行列式的各种性质都是为了尽可能的将行列式转换为含零尽可能多的行列式(如：三角形行列式)

证明：可由行列式中行指标和列指标的地位是对称的，这一特性进行证明。

n级行列式的性质

性质4： 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5： 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零。

性质6： 把一行的倍数加到另一行,行列式不变。

性质7： 对换行列式中两行的位置,行列式反号。

注意： 这几条性质务必理解如何证明，证明在书中表达的很清楚。结合书中的例题有助于对性质更好的理解。

行列式的计算

定义6: 所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换
1)以P中一个非零的数乘矩阵的某一行;
2)把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中任意个数;
3)互换矩阵中两行的位置

注意： 任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵。

行列式按照一行展开

注意：在行列式中,一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零。

克拉默法则

拉普拉斯定理–行列式的乘法规则

注意：参考即可




定理7： 两个n级行列式（在这里可以参照矩阵的乘法来对其进行考虑）

参考书籍：《高等代数》第三版 王萼芳 石生明 修订 高等教育出版社