证明

$\mathcal{No.}1:$No.1:

• 证:

  设$n=2*k+1$n=2∗k+1

  $\therefore n^2-1\\=(2*k+1)^2-1\\=4*k^2+4*k\\=4*(k*(k+1))$∴n2−1=(2∗k+1)2−1=4∗k2+4∗k=4∗(k∗(k+1))

  即证 $2|(k*(k+1))$2∣(k∗(k+1))
  当$k\mod n=1$kmodn=1时，$\therefore2|(k+1)\Rightarrow2|(k*(k+1))\Rightarrow8|(4*(k*(k+1)))$∴2∣(k+1)⇒2∣(k∗(k+1))⇒8∣(4∗(k∗(k+1))),得证
  当$k\mod n=0$kmodn=0时，$\therefore2|k\Rightarrow2|(k*(k+1))\Rightarrow8|(4*(k*(k+1)))$∴2∣k⇒2∣(k∗(k+1))⇒8∣(4∗(k∗(k+1))),得证
  综上，$8|(n^2-1)$8∣(n2−1),证毕。

$\mathcal{No.}2:$No.2:

• 证：

  1.$\because n\mod 2=0$∵nmod2=0

  设$n=2*k$n=2∗k

  $\therefore 3^n+1=3^{2*k}+1=9^k+1$∴3n+1=32∗k+1=9k+1

  $\because 9^k\mod2=1$∵9kmod2=1

  $\therefore (9^k+1)\mod2=0$∴(9k+1)mod2=0

  $\Rightarrow2|(3^n+1)$⇒2∣(3n+1)

  证毕

  2.$\because n\mod 2=1$∵nmod2=1

  $\therefore3^n+1=(3+1)*\sum^{(n-1)}_{(i=0)}3^{(n-i-1)}*(-1)^i$∴3n+1=(3+1)∗∑(i=0)(n−1)​3(n−i−1)∗(−1)i

  $\Rightarrow3^n+1=4*\sum^{(n-1)}_{(i=0)}3^{(n-i-1)}*(-1)^i$⇒3n+1=4∗∑(i=0)(n−1)​3(n−i−1)∗(−1)i

  $\Rightarrow4|(3^n+1)$⇒4∣(3n+1)

  证毕

$\mathcal{No.}4:$No.4:

• 证：

  若$17|(2a+3b)$17∣(2a+3b)

  $\Rightarrow17|5*(2a+3b)$⇒17∣5∗(2a+3b)

  $\Rightarrow17|(10a+15b)$⇒17∣(10a+15b)

  $\Rightarrow17|(27a+15b)$⇒17∣(27a+15b)

  $\Rightarrow17|3*(9a+5b)$⇒17∣3∗(9a+5b)

  $\because\gcd(17,3)=1$∵gcd(17,3)=1

  $\therefore17|(9a+5b)$∴17∣(9a+5b)

  得证

  若17|(9a+5b)

  $\Rightarrow17|3*(9a+5b)$⇒17∣3∗(9a+5b)

  $\Rightarrow17|(27a+15b)$⇒17∣(27a+15b)

  $\Rightarrow17|(10a+15b)$⇒17∣(10a+15b)

  $\Rightarrow17|5*(2a+3b)$⇒17∣5∗(2a+3b)

  $\because\gcd(17,5)=1$∵gcd(17,5)=1

  $\therefore17|(2a+3b)$∴17∣(2a+3b)

  得证

$\mathcal{No.}6:$No.6:

• 1)

  $\gcd(1492,1066)\\=\gcd(1066,426)\\=\gcd(426,214)\\=\gcd(214,212)\\=\gcd(212,2)\\=gcd(2,0)\\=2$gcd(1492,1066)=gcd(1066,426)=gcd(426,214)=gcd(214,212)=gcd(212,2)=gcd(2,0)=2

• 2)

  $\gcd(24871,3468)\\=\gcd(3468,595)\\=\gcd(595,493)\\=\gcd(493,102)\\=\gcd(102,85)\\=\gcd(85,17)\\=\gcd(17,0)\\=17$gcd(24871,3468)=gcd(3468,595)=gcd(595,493)=gcd(493,102)=gcd(102,85)=gcd(85,17)=gcd(17,0)=17

• 3)

  $\gcd(120,504,882)\\=\gcd(\gcd(120,504),882)\\=\gcd(\gcd(120,24),882)\\=\gcd(\gcd(24,0),882)\\=\gcd(24,882)\\=\gcd(882,24)\\=\gcd(24,18)\\=\gcd(18,6)\\=\gcd(6,0)\\=6$gcd(120,504,882)=gcd(gcd(120,504),882)=gcd(gcd(120,24),882)=gcd(gcd(24,0),882)=gcd(24,882)=gcd(882,24)=gcd(24,18)=gcd(18,6)=gcd(6,0)=6