高数 基础2 - 函数的概念与性质

中国大学MOOC

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函数的定义

《集合论》

1. 常见数集的集合
2. 集合的表示方法：列举法和描述法
   
   • 用描述法表示时候要有相当明确（清晰）的概念。
3. 空集是任何元素的子集， 记 ∅$\varnothing$
4. 补集，都带“相当于XX集”来说，集合A相当于全集U 的补集 →CuA$\to C_{u}A$
5. 直积（笛卡尔积）
6. 符号 ∀$\mathrm{\forall }$ ∃$\mathrm{\exists }$ ⇒$\Rightarrow$

对于任意正数 M$M$，都能在区间 [a,+∞]$[a,+\mathrm{\infty }]$ 中找到一个数，满足 x>M$x>M$

∀M>0,∃x∈[a,+∞),满足x>M$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }x\in [a,+\mathrm{\infty }),满足x>M$

映射

• 满射
• 单射

常量和变量

• 有些量虽然变化，但幅度比较小，可以当作常量处理

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函数的定义域

解析：
即结果：Df${\mathbf{D}}_f$ = {x∣−1≤x<3,x≠0}⟺[−1,0)⋃(0,3)$\{x\mid -1\le x<3,x\ne 0\}⟺[-1,0)\bigcup (0,3)$

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函数相同： 定义域相同 + 对应法则完全一致

例题:

• f(x)=|x|$f(x)=\left|x\right|$ 和 φ(x)=x2−−√$\phi (x)=\sqrt{x^2}$ 两种相同。
• f(x)=(1−x)2−−−−−−−√φ(x)=1−x$f(x)=\sqrt{(1-x{)}^2}\phi (x)=1-x$ 定义域相同但对应法则不一样。

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函数的性质

• 单调性

• 有界性

  有界函数定义：存在 K1$K_1$、K2$K_2$ ，任意 ∀x∈I⟶K2<f(x)<K1$\mathrm{\forall }x\in I⟶K_2<f(x)<K_1$

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  • f(x)$f(x)$ 在 I$I$ 上有界 ⟶$⟶$ 有正数 M$M$ ，对 ∀x∈I,|f(x)|≤M$\mathrm{\forall }x\in I,|f(x)|\le M$ 恒成立。其中 M=max{|K1|,|K2|}$M=max\{|K_1|,|K_2|\}$

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例题：
1、判断 f(x)= sin x 的有界性 【M=1】
2、判断 f(x)=1x$f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 ( 0, 1 ) 的有界性。

答：假定 定值 M$M$ 为 f(x)$f(x)$ 在 (0, 1) 上任意处的值，此时 x=1M$x=\frac{1}{M}$ 。
令 x0=11+M$x_0=\frac{1}{1+M}$
x0$x_0$肯定在 (0,1) 内，此时 f(x0)=1+M$f(x_0)=1+M$ >M 恒成立
即对 ∀M$\mathrm{\forall }M$ ，都能找到 x0∈(0,1)$x_0\in (0,1)$ ，使 |f(x0)|=f(x0)>M$|f(x_0)|=f(x_0)>M$
∴f(x)$\therefore f(x)$ 在 (0,1) 内无界。

• 奇偶性（必须是关于原点对称）
  f(−x)=f(x)f(−x)=−f(x)$$\begin{gathered} f(-x)=f(x) \\ f(-x)=-f(x) \end{gathered}$$

• 周期性
  f(x+T)=f(x)$f(x+T)=f(x)$ 最小正周期

  函数不一定存在周期，比如常量函数 f(x)=C$f(x)=C$ 和迪利克雷函数 f(x)={10x为无理数x为有理数$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x为无理数\\ 0& x为有理数\end{array}$

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