软考考点之数据的表示

补码：

补码的实质是    变减为加

  在计算机中使用加法器对数据进行计算，那么如何进行减法的运算呢？

  设Mod=16

  若a=3，b=-4，则a+b=a+b+Mod=-1+Mod=a+(Mod-4)=15(在计数系统中-1和15等价)

  实际上Mod-4就是b的补数，所有的减法在计算机中都可以转化为加上减数的补数，对应计算机上的概念就是补码。

  因此，计算机是使用补码(补数)进行计算。

减数与其补码两个数相加之和会将计算机所有位数清零。

对于N位（bit）计算机而言，一个减数与其补码之和可以使N位清零。

减数就是我们现实生活中人类可读的数字，补码是计算机识别的编码符号。

由减数转化为补码这个过程称为编码，如实际数字-9转换为补码91就是编码；  

由补码转换为减数这个过程称为解码，如补码91转换为实际数字-9就是解码。
 

到这里你可能想明白了为什么8bit二进制计算机内补码1111_1111表示-1，为什么补码1000_0000是最大负数-128而不是-0了吧。

这样一来，00到99这100个补码就表示了实际数字-50到49。

二进制计算机也是如此，比如8bit计算机共有0000_0000到1111_1111一共256个补码。

256个补码一分为二，0000_0000到0111_1111共计128个补码表示正数，而且和实际数字一一对应。

比如补码0000_0000表示实际数字0，0000_1000表示实际数字8，0111_1111表示实际数字127.

1000_0000到1111_1111共计128个补码表示负数，和实际负数之间采用补码这种映射关系。

比如补码1111_1111表示-1，因为1111_1111加上0000_0001清零；补码1000_0000表示-128，因为1000_0000加上1000_0000清零。

如此一来，8bit二进制计算机就可以表示-128到127这些实际大小的数字了。

在计算机中，8位带符号二进制数的取值范围是[-128, 127]，比如Java中byte类型。

这与我们上面的解释对应上了。

同时也澄清了一个误会，计算机最高位1表示负数，是因为1000_0000将256个补码恰好一分为二，用1000_0000及以后的补码表示负数。

计算机对于最高位是1的数字并不是将首位1直接变为负号，而是通过补码这种编码将其整体解码为负数。

所以不要将最高位的1与其它位的二进制数分离开来，分别看待。

 

扩展：

我们要先区分一下原码、反码和补码的表示规则：

0的表示：

               原码：有正零和负零之分，[+0]补=0000 0000，[-0]补=1000 0000;

               反码：同样有两种表示方法，[+0]反=0000 0000 ，[-0]反=1111 1111；

               补码：零只有一种表示方法，不分正负，[0]补=0000 0000；

为二进制表示的范围为：

       一个字节8位，如果采用原码表示正整数（含0），可以表达0-255，即 2^8=256，一共256种状态，从全0到全1的各种排列组合。如果要表示负数，则符号位需要占用一位（最高位，1代表负数，0代表正数），因此其绝对值最大范围为0-127，即2^7=128，一共正负各128种状态，如果不采用特殊处理，这时候0占用2个编码（10000000和00000000），数据表示范围为-127到-0及+0到127，这样总体上一个字节只有255种状态，因为其中0具有正0和负0之分，这不符合数学意义也浪费一个编码。

补码的算法为：绝对值的原码各位取反后加1.        

例1：负1的补码：             绝对值的8位原码为00000001         取反：11111110         加1 ：11111111         此时最高位被处理为1，满足高位为1代表负数的定义。        

例2：负128的补码：         绝对值的8位原码为10000000         取反：01111111         加1 ：10000000          此时同样的最高位被置为1，同样满足高位为1代表负数的定义,同时原先表示负0的编码被利用起来表示-128。 因此一个字节的有符号整数范围为-128到127。

综上为：

              原码+反码：8位原码和反码能够表示数的范围是-127~127；

              补码：8位补码能够表示数的范围是 -128~127。

            （在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：(-128~0~127)共256个）

通用点的形式为：