东京大学工学系研究科数学套路总结系列【常微分方程式过去问应用型】

2006年

第一问很简单，时间变化无关就是左侧为0

第二问，直接设平衡点为xoyo点，其值应该是第一问求出来的答案。然后其微小变化量▲x，▲y，丢到题目给的微分方程式里算，算其微小变化量有关的式子。微小变化量之间的计算问题。

再来解微分方程式，解出来是椭圆。

第三问，图形是个不规整的椭圆，要求dx/dt和dy/dt的符号是要知道椭圆的凹凸情况，以平衡点为界讨论。

 

2007年

第一问，比较巧妙的常微分解法，左右两边同时乘2dy/dx，来凑以*dy/dx*为单位的积分。

第二问，要注意题目已知y是x的单增函数，所以dy/dx大于等于0，并且y下限-1上限为1，因此可以直接把平方开出来求解。

愚蠢错误

• 1/1-y这个积分前面要有【-】号

第三问，积分中的dx变换成dx/dy来求解。

 

第一问，涉及到y等于ux一般都是变数分离法做的，以x为着目文字来处理

第三问，二次曲线通过判别式进行判断，其中双曲线的渐近线是右边为0时的解，椭圆的话可通过tan2角度等于b除以c-a来算出旋转角，再在原有基础上旋转出标准型。

 

2008年

直交曲线求法，y一瞥等于-1/y一瞥。

把式子尽量整理乘dy/dx等于f【x，y】的形式，然后用变数分离法来算。

错误

• 不能用x等于uy来带入，因为是关于y的函数所以即使dy/dx等于dx/dy也不能随便当两变数来处理。

 

 

2009年

第一问，普通的常微分，化成关于u的常微分方程求解

第二问，有技巧的一题，不化成关于某个变数的常微分方程式而是变成udu/dx加vdv/dx等于0的形式，这样直接两边微分就可以求解。轨迹这个题也很有意思，题目只告诉x的范围，求出来的是u平方加v平方等于1，应该是个圆，但是不知道是几分之几圆。u带入成cos【fx】，v带入成sin【fx】，然后du/dx求出来应该符合题目的条件，求出fx和x之间的关系，再用x的范围来求解fx的范围就知道是几分之几圆了。

 

2010年

dx代表的就是两变数之间的差，利用此关系直接求解。

 

二变数偏微分的计算有一点，然后就是通过变形式子来简化式子。

第五问的概型有点特殊需要记忆。

错误

• 细心细心细心啊

 

2014年 常微分方程式与行列的问题

 

计算量巨大。要记住这个的公式。

 

2015年

 

涉及到多次很复杂的常微分方程式的时候第一时间应该想到去简化式子，除了脑子里记得常规手段之外没有其他解法了。

解第二问的时候马上想到用左右两边做x的微分，这样就可以凑出同样的东西进行减法。最后要把算出来的系数代到原方程里。