复变函数（一）
复变函数：w=f(z)，其中z和w均为复数
其中z称为复变数，z的范围为复平面上的一个点集M，M称为f(z)的变数范围
当z取M的一切值而得出的所有的w值的集合N，称为函数值的范围
f(z)是单值的：对于M中的每一个点z，对应一个复数
令z=x+iy, u=u+iv,
复变函数w=f(z)的实质就是两个实变数x和y的两个实函数：
u=u(x,y), v=v(x, y)，将(x, y)平面上的集合M映射到(u, v)上的集合N
自然地，与实数域上的实函数类似，我们同样可以对复变函数定义一一性，反函数，复合函数。
保角变换/共形映照
假设函数u, v对x, y在M内是可微的，则微分矢量之间的关系是：
则有
顾名思义，所谓保角变换要求映射后的角度大小不变，即：
考虑处的两个微分矢量
，假设两者分别对应
处的两个矢量
则由保角性可知：夹角的余弦值与
夹角的余弦值相等
夹角的余弦值可以用如下式子表示：
我们选取特殊的，
可得
可得
满足Cauchy-Riemann方程的变换称为保角变换（或称为保角映像）
注意：那些使（即
）的点不一定具有保角性
此外，注意到
说明保角变换把附近的无穷小圆周变为
附近的无穷小圆周，因此保角变换也被称为共形映照
如果在区域D内，有二阶连续偏微商，
由Cauchy-Riemann条件可以推出分别为Laplace方程
和
的解
在区域D中适合于Laplace方程的函数称为D内的调和函数/位函数
v称为u的共轭函数，显然可见-u也是v的共轭函数
现在考虑由一个调和函数求出它的共轭函数的问题：
如果D是单连通区域，则可以验证函数是
的共轭函数，即
满足Cauchy-Riemann条件
如果D是多连通区域，则上述曲线积分会因所取路径的不同而得到不同的数值：
- 如果两条路线L和L'可以在D的范围内由其一连续变形为另一时，它们的积分还是相等的。
- 否则，不一定相等
考虑Cauchy-Riemann方程的极坐标代换：
可以得到：
考虑Laplace方程的极坐标代换：
可以得到：
则相应的，u和v满足Laplace方程。
在极坐标代换之后，我们可以很方便的找到一些保形映射/调和函数。
下面列举几个典型的调和函数，即满足极坐标形式的Cauchy-Riemann方程的函数：
- 把
分为虚实部分：
，则可以验证u和v满足极坐标形式的Cauchy-Riemann方程
- 把多项式
分为虚实部分u和v（性质：如果u和v是调和函数，则对任何常数a,b，有au+bv也是调和函数）
- 把级数
（假设在|z|<R内收敛），它的实部和虚部
- 特别地，
，即
时，
，
- 特别地，
-
，n为正整数
下面介绍一个定理：
保角变换之积仍然是保角变换。换言之，共轭的关系经过保角变换而不变，调和函数经保角变换后依然是调和函数。
证明：
解析函数
下面讨论保角变换函数的性质：
无论h沿哪个方向趋于0，极限是唯一的，不依趋向不同而变化
定义：解析
如果在D内某点z，极限唯一存在，设为
，则在此点
称为可导的；如果在
的一个邻域中
均可导，则称
在
是解析的。
我们说在区域D内解析，是指在D内每一点
都是解析的。
用语言来叙述即：
容易证明：
- 解析函数的和，差，积仍然是解析函数；
- 如果除函数在D内不等于0，则商函数也是解析的。
- 如果
是
的解析函数（在D域的），而
在
的解析函数，其函数值在
域内，则
也是解析函数。
有了解析的定义之后，我们可以发现上面在讨论保角变换的性质的时候，证明了保角映射（即满足Cauchy-Riemann条件的函数）是一个解析函数。
事实上，反过来的命题也是成立的：如果一个函数在z处解析，则其虚部和实部一定满足Cauchy-Riemann条件，并且是一对共轭的调和函数。
证明是容易的：
下面根据上面的命题，将表示成关于x和y的偏导数的形式（划归思想：将一个未知的定义转化为已知的实数偏导数的定义）
这一结果可以作如下理解：
令，因此，
是
的函数，而解析函数是与
无关的一类函数，
的变化不会影响函数的值。