复变函数

实变函数（高等数学）主要内容：

• 微积分（一元、二元、多元）
• 级数理论
• 常微分方程

复变函数：

• 研究对象：自变量为复数的函数
• 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分
• 主要内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。

一、复数基本知识

1.1 复数基本概念

对任意两实数x, y，称$z=x+iy$z=x+iy或$z=x+yi$z=x+yi为复数，其中$i^2=-1$i2=−1，i称为虚部

复数z的实部Re(z)=x，虚部Im(z)=y

复数的模：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0$∣z∣=x2+y2​≥0

复数相等：$z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2$z1​=z2​⟺x1​=x2​,y1​=y2​，其中$z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2$z1​=x1​+iy1​,z2​=x2​+iy2​

$z=0\iff Re(z)=Im(z)=0$z=0⟺Re(z)=Im(z)=0

一般两个复数不能比较大小。

1.2 共轭复数

若$z=x+iy$z=x+iy，称$\overline{z}=x-iy$z=x−iy为z的共轭复数。

1.3 几何表示

1.3.1 可以用点来表示：

$z=x+iy \iff$z=x+iy⟺复平面上的点$P(x,y)$P(x,y)
复平面上横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。

1.3.2 可以用向量来表示：

$z=x+iy\iff P(x,y)\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\}$z=x+iy⟺P(x,y)⟺OP={x,y}
可以用向量$\overrightarrow{OP}$OP来表示$z=x+iy$z=x+iy
复数的模：向量的长度$|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}$∣z∣=∣OP∣=x2+y2​
复数的幅角：向量与正实轴之间的夹角$\theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x)$θ=Argz​=(OP,x)
$tan(Argz)={y\over x}$tan(Argz)=xy​
当z=0时，幅角无意义
幅角是无穷多的：$Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi$Argz​=θ=θ0​+2kπ
满足$-\pi<\theta_0<\pi$−π<θ0​<π的$\theta_0$θ0​称为幅角$Arg_z$Argz​的主值，记作：$\theta_0=Arg_z$θ0​=Argz​

1.3.3 可以用三角来表示：

用复数的模与幅角来表示非零复数z
由$\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}${x=rcosθy=rsinθ​得：
$z=r(cos\theta+isin\theta)$z=r(cosθ+isinθ)

1.3.4 用指数表示

由欧拉公式：$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$eiθ=cosθ+isinθ可得非零复数z的指数表达式：
$z=re^{i\theta}$z=reiθ

1.2 复数的乘幂与方根

1.2.1 复数的乘积与熵

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：
定理：设$z_1,z_2$z1​,z2​是两个非零复数：
$z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)}$z1​=∣z1​∣(cosArgz1​​+isinArgz1​​)=∣z1​∣ei(Argz1​)
$z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)}$z2​=∣z2​∣(cosArgz2​​+isinArgz2​​)=∣z2​∣ei(Argz2​)

则：
$|z_1z_2|=|z_1||z_2|,Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)$∣z1​z2​∣=∣z1​∣∣z2​∣,Arg(z1​z2​)=Arg(z1​)+Arg(z2​)
$|{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),Arg({z_1\over z_2)}=Arg(z_1)-Arg(z_2)$∣z2​z1​​∣=∣z2​∣∣z1​∣​(z2​​=0),Arg(z2​)z1​​=Arg(z1​)−Arg(z2​)

乘法的几何意义：将复数$z_1$z1​按逆时针方向旋转一个角度Arg(z_2)，再将其伸缩到|z_2|倍。

1.2.2 复数的乘幂

n个相同复数z的乘积称为z的n次幂：$z^n$zn
$z^n=zz...z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)$zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)
特别地：当$|z|=r=1$∣z∣=r=1时，$z^n=(cosn\theta+isinn\theta)$zn=(cosnθ+isinnθ)，此时有：
$(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta$(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
这个公式称为De Moivre公式

令$z^{-n}={1\over z^n}$z−n=zn1​，则：
$z^{-n}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta))=r^{-n}e^{-in\theta}$z−n=r−n(cos(−nθ)+isin(−nθ))=r−ne−inθ

1.2.3 复数的方根

设$z=re^{i\theta}$z=reiθ为已知复数，n为正整数，则称满足方程$w^n=z$wn=z的所有w值为z的n次方根，记为$w=\sqrt[n]{z}$w=nz​

https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html

二、欧拉公式：

令$i=\sqrt{-1}$i=−1​，欧拉公式为：
$e^{ix}=cosx+isinx$eix=cosx+isinx

欧拉公式的推导用到了泰勒展开，至于$e^{ix}$eix为什么可以泰勒展开需要证明，这里忽略：

$e^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+...$eix=1+ix+2!(ix)2​+3(ix)3​+4!(ix)4​+5!(ix)5​+6!(ix)6​+...
$\quad=1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}$=1+ix−2!x2​−3!ix3​+4!x4​+5!ix5​−6!x6​
$\quad=(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+...)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-...)$=(1−2!x2​+4!x4​−6!x6​+...)+i(x−3!x3​+5!x5​−...)
$\quad=cosx+isinx$=cosx+isinx

三、复变函数的导数

3.1 导数的定义

3.2 求导公式与法则（实函数中求导法则的推广）

1. 常数的导数$c'=(a+ib)'=0$c′=(a+ib)′=0
2. $(z^n)'=nz^{n-1}$(zn)′=nzn−1（n是自然数）
3. 设函数$f(z),g(z)$f(z),g(z)均可导，则：
   $[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)$[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)
   $[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)$[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)
   $[{f(z)\over g(z)}]'={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0)$[g(z)f(z)​]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z)​(g(z)​=0)
4. 复合函数的导数：$f[g(z)]'=f'(g(z))g'(z)$f[g(z)]′=f′(g(z))g′(z)
5. 反函数的导数：$f'(z)={1\over \phi'(w)}$f′(z)=ϕ′(w)1​，其中：$w=f(z)$w=f(z)，与$z=\phi(w)$z=ϕ(w)互为单值的反函数，且$\phi'(w)\ne0$ϕ′(w)​=0

注意：

1. 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为$\triangle z\to0$△z→0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。
2. 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是狠苦难的，但在复变函数中，却轻而易举

3.3 可导与连续

四、解析函数

4.1 定义

4.2 定理

4.3 解析函数的充要条件