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从头开始实现神经网络：入门

分类: 文章 • 2025-05-07 22:39:28

从头开始实现神经网络：入门

获取代码：接下来，为了匹配文章的内容，所有的代码都会在Github上以iPython笔记的形式提供。

本文中我们会从头实现一个简单的3层神经网络。我们不会推导所有的数学公式，但会给我们正在做的事情一个相对直观的解释。我也会给出你研读所需的资源链接。

这里假设你已经比较熟悉微积分和机器学习的概念了。比如，你知道什么是分类和正则化。当然你也应该了解一点优化技巧，如梯度下降是如何工作的。但是即使你对上面提到的任何一个概念都不熟悉，你仍然会发现本文的有趣所在。

但是为什么要从头实现一个神经网络呢？即使你打算将来使用像PyBrain这样的神经网络库，从头实现神经网络仍然是一次非常有价值的练习。它会帮助你理解神经网络的工作原理，而这是设计有效模型的必备技能。

需要注意的是这里的示例代码并不是十分高效，它们本就是用来帮助理解的。在接下来的文章中，我会探索如何使用Theano写一个高效的神经网络实现。

产生数据集

让我们从力所能及的产生数据集开始吧。幸运的是，scikit-learn提供了一些很有用的数据集产生器，所以我们不需要自己写代码了。我们将从make_moons 函数开始。

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# Generate a dataset and plot it
np.random.seed(0)
X, y = sklearn.datasets.make_moons(200, noise=0.20)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], s=40, c=y, cmap=plt.cm.Spectral)

从头开始实现神经网络：入门

产生的数据集中有两类数据，分别以红点和蓝点表示。你可以把蓝点看作是男性病人，红点看作是女性病人，x和y轴表示药物治疗。

我们的目标是，在给定x和y轴的情况下训练机器学习分类器以预测正确的分类（男女分类）。注意，数据并不是线性可分的，我们不能直接画一条直线以区分这两类数据。这意味着线性分类器，比如Logistic回归，将不适用于这个数据集，除非手动构建在给定数据集表现很好的非线性特征（比如多项式）。

事实上，这也是神经网络的主要优势。你不用担心特征构建，神经网络的隐藏层会为你学习特征。

Logistic回归

为了证明这个观点，我们来训练一个Logistic回归分类器。它的输入是x和y轴的值，输出预测的分类（0或1）。为了简单，我们使用scikit-learn库里的Logistic回归类。

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# Train the logistic rgeression classifier
clf = sklearn.linear_model.LogisticRegressionCV()
clf.fit(X, y)
 
# Plot the decision boundary
plot_decision_boundary(lambda x: clf.predict(x))
plt.title("Logistic Regression")

从头开始实现神经网络：入门

上图展示了Logistic回归分类器学习到的决策边界。使用一条直线尽量将数据分离开来，但它并不能捕捉到数据的“月形”特征。

训练神经网络

让我们来建立具有一个输入层、一个隐藏层、一个输出层的三层神经网络。输入层的结点数由数据维度决定，这里是2维。类似地，输出层的结点数由类别数决定，也是2。（因为我们只有两类输出，实际中我们会避免只使用一个输出结点预测0和1，而是使用两个输出结点以使网络以后能很容易地扩展到更多类别）。网络的输入是x和y坐标，输出是概率，一个是0（女性）的概率，一个是1（男性）的概率。它看起来像下面这样：

从头开始实现神经网络：入门

我们可以为隐藏层选择维度（结点数）。放入隐藏层的结点越多，我们能训练的函数就越复杂。但是维度过高也是有代价的。首先，预测和学习网络的参数就需要更多的计算。参数越多就意味着我们可能会过度拟合数据。

如何选择隐藏层的规模？尽管有一些通用的指导和建议，但还是依赖于具体问题具体分析，与其说它是一门科学不如说是一门艺术。我们稍后会在隐藏层的结点数上多做一点事情，然后看看它会对输出有什么影响。

我们还需要为隐藏层挑选一个**函数。**函数将该层的输入转换为输出。一个非线性**函数允许我们拟合非线性假设。常用的**函数有tanh、the sigmoid函数或者是ReLUs。这里我们选择使用在很多场景下都能表现很好的tanh函数。这些函数的一个优点是它们的导数可以使用原函数值计算出来。例如，tanh x的导数是1-tanh^2 x。这个特性是很有用的，它使得我们只需要计算一次tanh x值，之后只需要重复使用这个值就可以得到导数值。

因为我们想要得到神经网络输出概率，所以输出层的**函数就要是softmax。这是一种将原始分数转换为概率的方法。如果你很熟悉logistic回归，可以把softmax看作是它在多类别上的一般化。

神经网络如何预测

神经网络使用前向传播进行预测。前向传播只不过是一堆矩阵相乘并使用我们上面定义的**函数了。假如x是该网络的2维输入，我们将按如下计算预测值（也是二维的）:

从头开始实现神经网络：入门

zi是输入层、ai是输出层。W1,b1,W2,b2是需要从训练数据中学习的网络参数。你可以把它们看作是神经网络各层之间数据转换矩阵。看着上文的矩阵相乘，我们可以计算出这些矩阵的维度。如果我们的隐藏层中使用500个结点，那么有从头开始实现神经网络：入门

现在你明白了为什么增大隐藏层的规模会导致需要训练更多参数。

学习参数

学习该网络的参数意味着要找到使训练集上错误率最小化的参数(W1,b1,W2,b2)。但是如何定义错误率呢？我们把衡量错误率的函数叫做损失函数（loss function）。输出层为softmax时多会选择交叉熵损失（cross-entropy loss）。假如我们有N个训练例子和C个分类，那么预测值（hat{y}）相对真实标签值的损失就由下列公式给出：

从头开始实现神经网络：入门

这个公式看起来很复杂，但实际上它所做的事情不过是把所有训练例子求和，然后加上预测值错误的损失。所以，hat{y}（预测值）距离 hat{y}（真实标签值）越远，损失值就越大。

要记住，我们的目标是找到能最小化损失函数的参数值。我们可以使用梯度下降方法找到最小值。我会实现梯度下降的一种最普通的版本，也叫做有固定学习速率的批量梯度下降法。诸如SGD（随机梯度下降）或minibatch梯度下降通常在实践中有更好的表现。所以，如果你是认真的，这些可能才是你的选择，最好还能逐步衰减学习率。

作为输入，梯度下降需要一个与参数相关的损失函数的梯度（导数矢量）：,从头开始实现神经网络：入门。为了计算这些梯度，我们使用了著名的后向传播算法。这个算法是从输出计算梯度的一种很高效的方法。在这里我不会深入讲解后向传播如何工作，但是在网络上流传有很多很优秀的讲解（参见这里或是这里）。

应用后向传播公式我们发现以下内容（这点你要相信我）：

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实现

现在我们要准备开始实现网络了。我们从定义梯度下降一些有用的变量和参数开始：

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num_examples = len(X) # training set size
nn_input_dim = 2 # input layer dimensionality
nn_output_dim = 2 # output layer dimensionality
 
# Gradient descent parameters (I picked these by hand)
epsilon = 0.01 # learning rate for gradient descent
reg_lambda = 0.01 # regularization strength

首先要实现我们上面定义的损失函数。以此来衡量我们的模型工作得如何：

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# Helper function to evaluate the total loss on the dataset
def calculate_loss(model):
    W1, b1, W2, b2 = model['W1'], model['b1'], model['W2'], model['b2']
    # Forward propagation to calculate our predictions
    z1 = X.dot(W1) + b1
    a1 = np.tanh(z1)
    z2 = a1.dot(W2) + b2
    exp_scores = np.exp(z2)
    probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
    # Calculating the loss
    corect_logprobs = -np.log(probs[range(num_examples), y])
    data_loss = np.sum(corect_logprobs)
    # Add regulatization term to loss (optional)
    data_loss += reg_lambda/2 * (np.sum(np.square(W1)) + np.sum(np.square(W2)))
    return 1./num_examples * data_loss

还要实现一个辅助函数来计算网络的输出。它的工作就是传递前面定义的前向传播并返回概率最高的类别。

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# Helper function to predict an output (0 or 1)
def predict(model, x):
    W1, b1, W2, b2 = model['W1'], model['b1'], model['W2'], model['b2']
    # Forward propagation
    z1 = x.dot(W1) + b1
    a1 = np.tanh(z1)
    z2 = a1.dot(W2) + b2
    exp_scores = np.exp(z2)
    probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
    return np.argmax(probs, axis=1)

最后是训练神经网络的函数。它使用上文中发现的后向传播导数实现批量梯度下降。

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# This function learns parameters for the neural network and returns the model.
# - nn_hdim: Number of nodes in the hidden layer
# - num_passes: Number of passes through the training data for gradient descent
# - print_loss: If True, print the loss every 1000 iterations
def build_model(nn_hdim, num_passes=20000, print_loss=False):
 
    # Initialize the parameters to random values. We need to learn these.
    np.random.seed(0)
    W1 = np.random.randn(nn_input_dim, nn_hdim) / np.sqrt(nn_input_dim)
    b1 = np.zeros((1, nn_hdim))
    W2 = np.random.randn(nn_hdim, nn_output_dim) / np.sqrt(nn_hdim)
    b2 = np.zeros((1, nn_output_dim))
 
    # This is what we return at the end
    model = {}
 
    # Gradient descent. For each batch...
    for i in xrange(0, num_passes):
 
        # Forward propagation
        z1 = X.dot(W1) + b1
        a1 = np.tanh(z1)
        z2 = a1.dot(W2) + b2
        exp_scores = np.exp(z2)
        probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
 
        # Backpropagation
        delta3 = probs
        delta3[range(num_examples), y] -= 1
        dW2 = (a1.T).dot(delta3)
        db2 = np.sum(delta3, axis=0, keepdims=True)
        delta2 = delta3.dot(W2.T) * (1 - np.power(a1, 2))
        dW1 = np.dot(X.T, delta2)
        db1 = np.sum(delta2, axis=0)
 
        # Add regularization terms (b1 and b2 don't have regularization terms)
        dW2 += reg_lambda * W2
        dW1 += reg_lambda * W1
 
        # Gradient descent parameter update
        W1 += -epsilon * dW1
        b1 += -epsilon * db1
        W2 += -epsilon * dW2
        b2 += -epsilon * db2
 
        # Assign new parameters to the model
        model = { 'W1': W1, 'b1': b1, 'W2': W2, 'b2': b2}
 
        # Optionally print the loss.
        # This is expensive because it uses the whole dataset, so we don't want to do it too often.
        if print_loss and i % 1000 == 0:
          print "Loss after iteration %i: %f" %(i, calculate_loss(model))
 
    return model

隐藏层规模为3的神经网络

一起来看看假如我们训练了一个隐藏层规模为3的神经网络会发生什么。

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# Build a model with a 3-dimensional hidden layer
model = build_model(3, print_loss=True)
 
# Plot the decision boundary
plot_decision_boundary(lambda x: predict(model, x))
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size 3")

从头开始实现神经网络：入门

耶！这看起来结果相当不错。我们的神经网络能够找到成功区分类别的决策边界。

变换隐藏层的规模

在上述例子中，我们选择了隐藏层规模为3。现在来看看改变隐藏层规模会对结果造成怎样的影响。

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plt.figure(figsize=(16, 32))
hidden_layer_dimensions = [1, 2, 3, 4, 5, 20, 50]
for i, nn_hdim in enumerate(hidden_layer_dimensions):
    plt.subplot(5, 2, i+1)
    plt.title('Hidden Layer size %d' % nn_hdim)
    model = build_model(nn_hdim)
    plot_decision_boundary(lambda x: predict(model, x))
plt.show()

从头开始实现神经网络：入门

可以看到，低维隐藏层能够很好地捕捉到数据的总体趋势。更高的维度则更倾向于过拟合。它们更像是在“记忆”数据而不是拟合数据的大体形状。假如我们打算在独立测试集上评测该模型（你也应当这样做），隐藏层规模较小的模型会因为能更好的泛化而表现更好。虽然我们可以使用更强的泛化来抵消过拟合，但是为隐藏层选择一个合适的规模无疑是更加“经济”的方案。

练习

这里有一些练习帮助你进一步熟悉这些代码：

使用minibatch梯度下降代替批量梯度下降来训练网络（更多信息）。minibatch梯度下降在实际中一般都会表现的更好。

例子中我们使用的是固定学习速率的梯度下降从头开始实现神经网络：入门。请为梯度下降的学习速率实现一个退火算法（更多信息）。

这里我们使用的是tanh从头开始实现神经网络：入门作为隐藏层的**函数。请尝试一下其他**函数（比如上文中提到过的那些）。注意改变**函数就意味着改变后向传播导数。

请扩展网络从两类输出到三类输出。你还需要为此产生一个近似数据集。

将这个网络扩展到四层。实验一下每层的规模。添加另一个隐藏层意味着前向传播和后向传播的代码都需要调整。

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