平面方程与点到平面的距离

1. 平面的点法式方程

过空间的一点，与已知直线垂直的平面只有一个。因此，给定平面上的一点和垂直于该平面的一个非零向量，平面就确定了。
这就是所谓的点法式方程的基础。

(1)法向量：

任意垂直与一个平面的向量被称为法向量。
法向量有无数个。

(2)平面的点法式方程：

假设平面上的一个点 $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ,已知该平面的法向量为 $n = (A, B, C)$ , 那么对于平面上的任意一点 $M (x, y, z)$ , 向量 $M_{0} = (x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0})$ 与法向量垂直，即 $n \cdot M M_{0} = 0$ ,

A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0

(3)例子

2. 点与平面的关系

(1)点与平距离的计算

假设平面的方程为

A x + B y + C z + D = 0

平面外的一点

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

, 在平面上取一点

P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})

, 那么点

P_{0}

到平面的距离d就是向量

P_{1} P_{0}

在法向量 $n$ 上投影的长度。
平面方程与点到平面的距离

d = \frac{| n \cdot P_{1} P_{0} |}{n} = \frac{| A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

= \frac{| A x - A x_{0} + B y - B y_{0} + C z - C z_{0} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{| A x + B y + C z - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

= \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

所以点

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

到平面的距离为

d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

(2) 例子

同济版高等数学

平面方程与点到平面的距离

平面方程与点到平面的距离

1. 平面的点法式方程

(1)法向量：

(2)平面的点法式方程：

(3)例子

2. 点与平面的关系

(1)点与平距离的计算

(2) 例子

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