运动的表示/位姿的表示
旋转矩阵—>旋转向量—>欧拉角—>四元数（李代数）
旋转矩阵用九个量描述三自由度的旋转，具有冗余性；欧拉角和旋转向量是紧凑的，但具有奇异性。所以最后重任落到了四元数的头上

1. 旋转矩阵，变换矩阵

1.1 前提知识

向量的内积（点乘）：

向量的外积（叉乘）：

外积只对三维向量存在定义，可以用外积表示旋转

1.2 旋转矩阵

特殊正交阵，正交阵且行列式为1（表示只改变方向，不改变大小）是旋转矩阵的充要条件

1.3 变换矩阵与齐次坐标

在三维向量末尾加1，就变成四维向量，成为齐次坐标，这样就更加方便多次变换情况下的计算。
同样，变换矩阵的引入也是为了方便多次变换时候的计算。

两次变换，如果用R和t，那么如下：

如果用T1和T2，则如下：

旋转矩阵：特殊欧氏群：因为描述的是欧式变换，即只有旋转和平移，保持体积，长度，夹角都不变。

2. 旋转向量，欧拉角

2.1 旋转向量

1. 一个旋转轴n（单位向量，只表示方向）和一个旋转角（θ，表示旋转的大小），轴角法
2. 与T之间的转换–罗德里格斯公式
   
   逆变换：
   
   
   转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量，特征值为1是因为只改方向不改大小。

2.2 欧拉角

1. 把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。常用的是ZYX且是绕旋转之后的轴继续旋转。
2. 根据ZYX具体在物体的哪个方向定义，所得到的俯仰，横滚，偏航三个角度的位置不一样。
3. 欧拉角会引入万向锁，如下图，万向锁说的是三个轴的自由度现在降成了两个，具体到本题目就是，第一次旋转的转轴Z和第三次旋转的X轴处于共轴（不要扯方向不一样，这和方向没关系）的情况，那么俯仰，横滚，偏航中三个角现在有一个就消失了。之前的Z轴和现在的X轴表示三个中同一个含义。
   
4. 只要是用欧拉角，都会发生万向锁的问题，所以欧拉角一般只用于显示不用于计算。
5. 陀螺仪的工作原理，详解万向锁问题
   万向锁问题

3 四元数

也是表示旋转，既是紧凑的，也是非奇异的。

3.1 基本的四元数

1. 基本四元数
   
   
2. 虚部之间关系
   
3. 基本运算：
   加减
   
   乘
   
   共轭
   、
   模长
   
   逆
   
   
   数乘与点乘（不是向量的点乘哦！）
   
   

3.2 四元数与旋转

1. 单位四元数表示三维空间中任意一个旋转，虚四元数用于表示一个点
2. 单位四元数的这种表达方式和复数有着微妙的不同，在复数中，乘以 i 意味着旋转 90 度。但是，四元数这里表示旋转是：乘以 i 应该对应着旋转 180 度，这样才能保证 ij = k 的性质。而 i2 = −1，意味着绕 i 轴旋转 360 度后，你得到了一个相反的东西。而只有旋转两周才会和它原先的样子相等。
3. 与旋转向量的关系：
   
   
4. 这式子给我们一种微妙的“转了一半”的感觉。同样，对式（3.19）的 θ 加上 2π，我们得到一个相同的旋转，但此时对应的四元数变成了 −q。因此，在四元数中， 两个互为相反数的四元数表示一个相同的旋转，或者说任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。
5. 具体旋转
   1. 首先，将一个点表示成虚四元数
      
   2. 其次，将轴角或者R和t转换成四元数
      
   3. 对点p进行旋转得到p’，其仍然是一个虚四元数，坐标是其虚部。
      

3. 相似、仿射、射影变换

1. 欧式变换（只有旋转和平移）
   
2. 相似变换（增加缩放）
   
3. 反射变换（A是一个可逆阵，不必是正交阵,也叫正交投影）
   
   经过仿射变换之后，立方体就不再是方的了，但是各个面仍然是平行四边形。
4. 射影变换（投射变换）
   
   左上角为可逆矩阵 A，右上为平移 t，左下缩放 aT，v不等于0的时候，可以将v归一化为1.
   从真实世界到相机照片的变换可以看成一个射影变换。
   读者可以想象一个原本方形的地板砖，在照片当中是什么样子：首先，它不再是方形的。由于近大远小的关系，它甚至不是平行四边形，而是一个不规则的四边形。