Wigner D方程在SPHERICAL CNNS中的应用
最近学习SPHERICAL CNNS这篇文章，记录一下最近学习过程中遇到的东西,感觉整体数学要求还是很高的
- WignerD方程和SO（3）
WignerD方程在文章中表示如下：
在物理函数当中的定义
显然根据文章中的定义和附录中的证明，我们可以知道R是一个SO(3)群中的旋转操作，关系如下所示：
这里的积分表示如下
这里不是很能搞懂，不知道normalized Haar measure是什么意思，百度也没有一个很好的解释。至于积分为什么有系数，我的理解是根据前文欧拉角的得出的公式来进行，暂时缺少相关知识先暂放。
在读文章代码的过程中会有一个Wigner-d方程即上述方程中的第二项
具体函数表示形式如下：
从这里我认为dR中系数就是应该从这里推导出来。 - 从数学看S^2和SO(3)
先从数学公式定义开始
和SO(3)对比少了一个对z轴旋转的参数，对应于文章中的表示极为
这个公式从数学的角度来证明看
y这个表述式在文中并没有明确的表示，查阅wignerd方程的定义可知道，这个是从球谐函数引申推广而来，球谐函数的公式表示如下：
同时球谐函数本身也是拉普拉斯算子的一个特殊正交基形式，所以可以做下式的展开即IGFT，就相当于一个特殊的级数展开形式。
对比和此前当最后一个参数为0时两式相等，对比其微分形式显然也易得下式：
有了这个公式基础就可以很轻松的理解为什么下述等式成立：
So we can think of the S2 Fourier transform of a function on S2 as the n = 0 column of the SO(3) Fourier transform of the associated right-invariant function。
通过对比式子我们也很容易发现dh和dy之间存在一个2pai倍数的关系，由前文可知对dy进行全部积分结果是2pai所以对dh进行积分结果就是1因此不影响整体结果，又因为dR=dxdh所以等式成立。
3. 其他数学公式证明
dr展开将积分上下限变成三次积分即可。
特点相类似，将r和R’带入Wignerd方程当中，最后整合出来在方程当中结果即为所求结果，补充文章中性质，这个性质也没有特别了解exp（inx）是不是就是国内表示的exp(imx)?
重新整理为什么在这里可以用时域卷积，就等于频域相关后相乘，我觉得他的证明存在一点小问题
- 整体总结
收集对比网上的资料和文章的论证大体可以得到以上证明，具体还有一些细节不是很能搞清楚，包括为什么dr有如下微分性质，8Π^2到底是如何数学证明的还不是很能搞清楚，剩下不明白的公式
这个内积不懂为什么一下就到结果了
这个公式第一步是f（R）傅里叶展开，第二部是移出去不相关项，最后一步直接约没了不是很理解。