线性代数——向量、向量加法、向量数乘

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向量

• 物理

  在物理中，向量是直线加箭头。
  其中的直线代表长度，箭头代表方向。
  只要长度和方向相同，那么空间中任意的两个向量也相同。

• 计算机

  在计算机学科中，向量代表一个有序的数表。
  如：
  ⎡⎣⎢⎢122140⎤⎦⎥⎥$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 22\\ 140\end{array}\end{array}\right]$
  其中1表示女士，22表示22岁，140表示智商，并且数据是不能颠倒的。

• 数学

  在几何上，向量的起点始终是原点，终点是箭头所在的点；
  在代数上，用各个维度的坐标值表示。
  也就是数学更为纯粹，计算机和物理只是取其一部分用之。

向量加法

两个向量相加时，就像两个数相加一样，只不过需要考虑方向。

如上图所示，u⃗+w⃗=v⃗，w⃗=w⃗′$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}，\overrightarrow{w}={\overrightarrow{w}}^{\prime }$,
加法操作就是，某点沿着向量u⃗$\overrightarrow{u}$运动，之后再沿着向量w⃗′${\overrightarrow{w}}^{\prime }$运动，最后从原点到该点做一个向量，就是v⃗$\overrightarrow{v}$。
也就是某点沿x$x$轴方向先移动2个单位，再同向移动4个单位；同理，沿y$y$轴方向移动2个单位，再反向移动1个单位。
推广到一般：
u⃗=[x1y1]w⃗=[x2y2],$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\end{array}\right]\overrightarrow{w}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\end{array}\right],$
u⃗+w⃗=v⃗=[x1+x2y1+y2].$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\end{array}\right].$

向量数乘

一个向量与一个数相乘时，就是一个放缩操作。此外，正数表示与原向量同向、负数表示原向量反向。

如上图所示，
v⃗=2u⃗,w⃗=−u⃗.$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}=-\overrightarrow{u}.$
同时，
u⃗=[xy],$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\end{array}\right],$
w⃗=ku⃗=[kxky].$\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}kx\\ ky\end{array}\end{array}\right].$

将数据表示为向量并提供相关几何图形，便能更直观的查看全局特征并采用合适的方法对数据进行处理。
同时也将几何特征用数值表示，便于计算机处理。